基于matlab的神经网络的高级入门基础

神经网络是一种强大的机器学习算法，如今已经广泛应用于各种领域，例如图像识别、语音识别、自然语言处理等。在本篇文章中，将深入探讨神经网络的高级概念，包括反向传播算法、深度学习框架、卷积神经网络、正则化等，并给出大量的 MATLAB 代码实现以及具体的操作方法。

##神经网络的前向传播

神经网络的前向传播是指输入一组输入数据，通过神经网络的层层计算，得到最终的输出结果的过程。假设我们有一个三层神经网络，其中输入层有 $n_1$ 个节点，隐藏层有 $n_2$ 个节点，输出层有 $n_3$ 个节点。假设输入数据为 $x\in {\mathbb{R}}^{n_1}$，输出结果为 $y\in {\mathbb{R}}^{n_3}$。则神经网络的前向传播可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{z}_2& =W^{(1)}x+b^{(1)}\\ a_2& =f(z_2)\\ z_3& =W^{(2)}{a}_2+b^{(2)}\\ a_3& =f(z_3)\\ y& =a_3\end{array}$$

其中，$z_2$ 和 $z_3$ 分别为隐藏层和输出层的加权输入，$a_2$ 和 $a_3$ 分别为隐藏层和输出层的激活值，$f$ 表示激活函数，$W^{(1)}$ 和 $W^{(2)}$ 分别为输入层到隐藏层和隐藏层到输出层的权重矩阵，$b^{(1)}$ 和 $b^{(2)}$ 分别为隐藏层和输出层的偏置向量。

##神经网络的反向传播

神经网络的反向传播是指通过训练数据对神经网络进行调整的过程。其中最关键的部分就是计算损失函数对神经网络参数的偏导数，以便使用梯度下降等优化算法对神经网络参数进行更新。假设训练集包含 $m$ 个样本 $(x^{(1)},y^{(1)}),\dots ,(x^{(m)},y^{(m)})$，其中 $x^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{n_1}$ 为输入数据，$y^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{n_3}$ 为输出结果。损失函数采用平方误差损失函数，即：

代价函数：

$$J(W,b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\Vert y^{(i)}-a_3^{(i)}\Vert }^2$$

其中，$m$ 表示训练集的大小，$\Vert \cdot \Vert$ 表示 L2 范数，$y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的真实标签，$a_3^{(i)}$ 表示神经网络对第 $i$ 个训练样本的预测结果。

反向传播算法中代价函数对权重 $W$ 的偏导数：

$$\frac{\partial J(W,b)}{\partial W}=\frac{1}{m}\left(\frac{\partial J(W,b)}{\partial a_3}\cdot \frac{\partial a_3}{\partial z_3}\right)\cdot a_2^T$$

其中，$\frac{\partial J(W,b)}{\partial a_3}$ 表示代价函数对输出层输出 $a_3$ 的偏导数，$\frac{\partial a_3}{\partial z_3}$ 表示输出层的激活函数对加权输入 $z_3$ 的偏导数，$a_2^T$ 表示上一层的输出 $a_2$ 的转置。

反向传播算法中代价函数对偏置 $b$ 的偏导数：

$$\partial b$$