神经网络是一种强大的机器学习算法,如今已经广泛应用于各种领域,例如图像识别、语音识别、自然语言处理等。在本篇文章中,将深入探讨神经网络的高级概念,包括反向传播算法、深度学习框架、卷积神经网络、正则化等,并给出大量的 MATLAB 代码实现以及具体的操作方法。
##神经网络的前向传播
神经网络的前向传播是指输入一组输入数据,通过神经网络的层层计算,得到最终的输出结果的过程。假设我们有一个三层神经网络,其中输入层有 n1n_1n1 个节点,隐藏层有 n2n_2n2 个节点,输出层有 n3n_3n3 个节点。假设输入数据为 x∈Rn1x\in\mathbb{R}^{n_1}x∈Rn1,输出结果为 y∈Rn3y\in\mathbb{R}^{n_3}y∈Rn3。则神经网络的前向传播可以表示为:
z2=W(1)x+b(1)a2=f(z2)z3=W(2)a2+b(2)a3=f(z3)y=a3 \begin{aligned} z_2 &= W^{(1)}x + b^{(1)}\\ a_2 &= f(z_2)\\ z_3 &= W^{(2)}a_2 + b^{(2)}\\ a_3 &= f(z_3)\\ y &= a_3 \end{aligned} z2a2z3a3y=W(1)x+b(1)=f(z2)=W(2)a2+b(2)=f(z3)=a3
其中,z2z_2z2 和 z3z_3z3 分别为隐藏层和输出层的加权输入,a2a_2a2 和 a3a_3a3 分别为隐藏层和输出层的激活值,fff 表示激活函数,W(1)W^{(1)}W(1) 和 W(2)W^{(2)}W(2) 分别为输入层到隐藏层和隐藏层到输出层的权重矩阵,b(1)b^{(1)}b(1) 和 b(2)b^{(2)}b(2) 分别为隐藏层和输出层的偏置向量。
##神经网络的反向传播
神经网络的反向传播是指通过训练数据对神经网络进行调整的过程。其中最关键的部分就是计算损失函数对神经网络参数的偏导数,以便使用梯度下降等优化算法对神经网络参数进行更新。假设训练集包含 mmm 个样本 (x(1),y(1)),…,(x(m),y(m))(x^{(1)},y^{(1)}),\ldots,(x^{(m)},y^{(m)})(x(1),y(1)),…,(x(m),y(m)),其中 x(i)∈Rn1x^{(i)}\in\mathbb{R}^{n_1}x(i)∈Rn1 为输入数据,y(i)∈Rn3y^{(i)}\in\mathbb{R}^{n_3}y(i)∈Rn3 为输出结果。损失函数采用平方误差损失函数,即:
代价函数:
J(W,b)=12m∑i=1m∥y(i)−a3(i)∥2J(W,b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m\left\Vert y^{(i)} - a_3^{(i)}\right\Vert^2J(W,b)=2m1i=1∑m y(i)−a3(i) 2
其中,mmm 表示训练集的大小,∥⋅∥\left\Vert\cdot\right\Vert∥⋅∥ 表示 L2 范数,y(i)y^{(i)}y(i) 表示第 iii 个训练样本的真实标签,a3(i)a_3^{(i)}a3(i) 表示神经网络对第 iii 个训练样本的预测结果。
反向传播算法中代价函数对权重 WWW 的偏导数:
∂J(W,b)∂W=1m(∂J(W,b)∂a3⋅∂a3∂z3)⋅a2T\frac{\partial J(W,b)}{\partial W} = \frac{1}{m}\left(\frac{\partial J(W,b)}{\partial a_3}\cdot\frac{\partial a_3}{\partial z_3}\right)\cdot a_2^T∂W∂J(W,b)=m1(∂a3∂J(W,b)⋅∂z3∂a3)⋅a2T
其中,∂J(W,b)∂a3\frac{\partial J(W,b)}{\partial a_3}∂a3∂J(W,b) 表示代价函数对输出层输出 a3a_3a3 的偏导数,∂a3∂z3\frac{\partial a_3}{\partial z_3}∂z3∂a3 表示输出层的激活函数对加权输入 z3z_3z3 的偏导数,a2Ta_2^Ta2T 表示上一层的输出 a2a_2a2 的转置。
反向传播算法中代价函数对偏置 bbb 的偏导数:
∂J(W,b)∂b=1m∑i=1m(∂J(W,b)∂a3(i)⋅∂a3(i)∂z3(i))\frac{\partial J(W,b)}{\partial b} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left(\frac{\partial J(W,b)}{\partial a_3^{(i)}}\cdot\frac{\partial a_3^{(i)}}{\partial z_3^{(i)}}\right)∂b