GCD·我所理解的扩展欧几里得

题意  求不定方程 ax + by + c = 0  满足 x1 <= x <= x2, y1 <= y <= y2 的解的个数

这里弱先来预习一下扩展欧几里得算法 ( O_O ) 

欧几里得算法

先来看看欧几里得算法  也就是辗转相除法  gcd(a,b) = gcd(b, a%b);

简单的证明

令 a%b = r   设 d 是 a, b 的公约数即d|a && d|b

又 d'r = a – kb 所以 r|d  即 a, b 的公约数都是 b, r 的公约数

设 d' 是 b, r 的公约数即 d'|b && d'|r

又 a = kb + r  所以 d'|a  即 b, r 的公约数都是 a, b 的公约数

所以 gcd(a, b) = gcd(b, a%b);

欧几里得算法的代码

int gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得算法

所谓扩展欧几里得算法  也就是欧几里得算法的扩展应用吧

对于二整数 a 、b，必存在整数 x 、 y 使得 ax + by = gcd(a, b)，可以通过扩展欧几里得算法求出一组满足的x、y。

简单的证明

设 a*x1 + b*y1 = gcd(a, b) (1)

   b*x2 + a%b * y2 = gcd(b, a%b)(2)

又    gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

所以有a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a - a/b * b)*y2 (此处的 '/' 为向下取整除)

化简有a*x1 + b*y1 = a*y2 + b* (x2 – a/b * y2)

那么有x1 = y2,  y1 = x2 – a/b * y2;

所以我们可以通过方程(2)的一组解得到方程(1)的一组解

这样递归下去类似辗转相除法 可以发现最后总可以递归到 方程 a*x + 0*y = gcd(a, 0) (3)

而方程(3)的一组解为 x = 1, y = 0 

那么我们在递归求 gcd(a,b) 的过程中就可以一起求出方程 a*x + b*y = gcd(a, b) 的一组解

扩展欧几里得算法的代码

ll exGcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exGcd(b, a % b, x, y), t = x;
    x = y, y = t - a / b * y;
    return ret;
}

不定方程 ax + by = c 的整数通解

通过扩展欧几里得算法得到 ax + by = gcd(a, b)的一组整数解后  如何得到不定方程 ax + by = c 的整数通解呢

令 d = gcd(a,b) 只有 d | c 时这个方程才存在整数解   

我们可以通过扩展欧几里得算法求得方程 ax + by = d 的一组整数解 x0, y0   方程两边同时乘上 c/d  就可以得到方程 ax + by = c 的一组整数解x = x0 * c/d, y = y0 * c/d

现在我们知道了ax + by = c 的一组整数解  又怎样得到他的所有整数解呢

设 x+x' , y+y'为下一组整数解  即 a*(x + x’) + b*(y + y’) = c 

那么必须满足 ax' +by' = 0  且 x' 是满足的最小的正整数  

ax' + by' = 0  --> y' =  -((a/d) / (b/d))x'

即 x' 的最小正整数解为 x' = b/d , y' = -a/d

那么原不定方程的通解为 {(x + b/d * k , y - a/d * k) | k in Z}

SGU106 The equation

这个题就是裸的扩展欧几里得的应用了  也有一些要注意的地方  虽然题目说所有数的绝对值都是小于10^8  但是还得用64位整数  用int错了好久  还要讨论一下a, b为0的情况  a, b中有0的情况比较简单

看一下a, b都不为0的  先通过扩展欧几里得求得一组解x, y

然后找出满足 x1 <= (x + b/d * k) <= x2 && y1 <= (y - a/d * k) <= y2的 k 的个数就行

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
typedef long long ll;

ll exGcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exGcd(b, a % b, x, y), t = x;
    x = y, y = t - a / b * y;
    return ret;
}

int main()
{
    ll a, b, c, d, x, y;
    ll x1, y1, x2, y2, t;

    while(~scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c))
    {
        c = -c;
        ll ans = 0;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &x1, &x2, &y1, &y2);
        d = exGcd(a, b, x, y);
        if(d == 0)              // a == 0 && b == 0
            ans = c ? 0 : (x2 - x1 + 1) * (y2 - y1 + 1);
        else if(c % d == 0)     // ax + by = c
        {
            double lx, rx, ly, ry, l, r;
            x = c / d * x, y = c / d * y;
            if(a == 0)          //0x + by = c
                ans = (x2 - x1 + 1) * (y1 <= y && y <= y2);
            else if(b == 0)     //ax + 0y = c
                ans = (y2 - y1 + 1) * (x1 <= x && x <= x2);
            else                //ax + by = c
            {
                lx = 1.0 * (x1 - x) * d / b;
                rx = 1.0 * (x2 - x) * d / b;
                if(lx > rx) swap(lx, rx);

                ly = 1.0 * (y - y1) * d / a;
                ry = 1.0 * (y - y2) * d / a;
                if(ly > ry) swap(ly, ry);

                l = ceil(max(lx, ly) - eps);
                r = floor(min(rx, ry) + eps);
                ans = max(0.0, r - l + 1);
            }
        }
        printf("%lld\n", ans);

    }
    return 0;
}

SGU 106  The equation

There is an equation ax + by + c = 0. Given a,b,c,x1,x2,y1,y2 you must determine, how many integer roots of this equation are satisfy to the following conditions : x1<=x<=x2,   y1<=y<=y2. Integer root of this equation is a pair of integer numbers (x,y).

Input

Input contains integer numbers a,b,c,x1,x2,y1,y2 delimited by spaces and line breaks. All numbers are not greater than 10⁸ by absolute value.

Output

Write answer to the output.

Sample Input

1 1 -3
0 4
0 4

Sample Output

4