01背包问题

什么是01背包问题呢？下面是弱的理解~~~~~

01背包：0背包是指在n件物品中取出若干件放在空间为V的背包里，每件物品的体积为v1,v2,v3……v(n),与之对应的价值为p1,p2,p3……p(n),求在不超过背包容量的情况下，获得最大价值的方案？

01背包有个特点哟：每种物品只有一件，可以选择放或者不放

状态转移方程：F[i][V]=max{F[i-1][V],F[i-1][V-v[i]]+p[i]}

现在来解释一下上面这个最关键的状态转移方程！

当前背包容量为v，即将处理第i件物品。显然有如下两种方案:

a.若第i件物品加入背包，装入这前i件物品获得的最大价值F[i][V]，必然等于第i件物品的价值p[i]再加上向容量为V-p[i]的背包装入前i-1件物品这个子问题的最大价值F[i-1][V-p[i]] (先把第i件物品加入背包，然后考虑安排剩余的空间容量)


b.若不加入第i件物品，装入这前i件物品的获得的最大价值F[i][V]，必然等于向容量为V的背包装入前i-1件物品这个子问题获得的最大价值F[i-1][V]

显然，当前问题的最大价值F[i][V]取上面两种方案的较大值！

for(i=1;i<=N;i++)

{
    for(j=1;j<=V;j++)

   {
        if(j>=v[i]) 

            f[i][j]=max(F[i-1][j-v[i]]+p[i],F[i-1][j]);

        else F[i][j]=F[i-1][j]; 
    }
}

这个动态规划的时空复杂度都是O(N*V)。

 

空间复杂度优化

状态转移方程：F[v]=max{F[V],F[V-v[i]]+p[i]}

由于每次迭代计算F[i][V]时，需要知道的子问题只是F[i-1][v]和F[i-1][V-v[i]]，即只需要知道前一次的迭代状态序列F[i-1]。那么可以优化空间只使用一个一维数组F[V]不断迭代，将空间复杂度降到O(V)。

        for(i=1; i<=n; i++)
        for(j=V; j>=v[i]; j--)
        {
                f[j] = f[j]>(f[j-v[i]] + p[i])? f[j]:(f[j-v1[i]] + p[i]);
        }

下面来举个栗子

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

E - Bone Collector

Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u

Submit Status

Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave … 
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ? 

 

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases. 
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

 

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2 ³¹).

 

Sample Input

 1

5 10

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

 

Sample Output

 14

 

 

题意：题意分析：一个骨头搜集爱好者，收集各类各样的骨头，这个骨头爱好者有一个大袋子，容积是一定的，现给出一定的骨头，每个骨头的容积和价值是固定的，现在我们往袋子中装入骨头，求袋子容积所能承受的条件下的可装的最大价值。

典型的01背包问题：

AC代码如下：

#include <stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#define LL 1001int main()

{

    int t,n,v,i,j,f[LL],p[LL],v1[LL];

    while(scanf("%d",&t) != EOF)

    {

        while(t--)

        {

            scanf("%d %d",&n,&v);

            memset(f, 0, sizeof(f));

            for(i=1; i<=n; i++)

                scanf("%d",&p[i]);

            for(i=1; i<=n; i++)

                scanf("%d",&v1[i]);

            for(i=1; i<=n; i++)

                for(j=v; j>=v1[i]; j--)

                {

                    f[j] = f[j]>(f[j-v1[i]] + p[i])? f[j]:(f[j-v1[i]] + p[i]);

                }

                printf("%d\n",f[v]);

        }

    }

    return 0;

}