树的最大独立子集

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf -0x3f3f3f3f
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long ll;
const int maxn=6100;
vector<int>G[maxn];
int dp[maxn][2];        //0表示不取这个数,1表示取这个数
int f[maxn];            //寻找根
int a[maxn];

void dfs(int s){
    int len=G[s].size();
    dp[s][1]=a[s];
    for(int i=0;i<len;i++)
        dfs(G[s][i]);
    for(int i=0;i<len;i++){
        dp[s][0]+=max(dp[G[s][i]][0],dp[G[s][i]][1]);
        dp[s][1]+=dp[G[s][i]][0];
    }
}

int main(){
    int n;
    int x,y;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            f[i]=0;
            G[i].clear();                   //不要忘记初始化
        }
        mem0(dp);
        while(scanf("%d%d",&x,&y)==2){
            if(x==0&&y==0)
                break;
            f[x]=1;
            G[y].push_back(x);          //不用双想建边,只是上司来了,下属不能来
        }                               //建边的时候如果是双向关系,则双向建边
        int a;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(f[i]==0){
                a=i;
                break;
            }
        }
        dfs(a);
        printf("%d\n",max(dp[a][0],dp[a][1]));
    }
    return 0;
}
### 关于动态规划最大独立子集 #### 问题描述 给定一棵结构,每个节点具有一定的权重(例如快乐指数),目标是从该中选取一组相邻的节点,使这些节点的权重之和达到最大化。 #### 算法思路 此问题可以通过动态规划解决。对于每一个节点 \( u \),定义两种状态: - **选中当前节点的状态**:记为 \( dp[u][1] \),表示当选择节点 \( u \) 的情况下,以其为根的子中的最大权值和。 - **未选中当前节点的状态**:记为 \( dp[u][0] \),表示当选择节点 \( u \) 的情况下,以其为根的子中的最大权值和。 转移方程如下: - 如果选择了节点 \( u \),则其所有孩子节点都能被选择,因此有: \[ dp[u][1] = w_u + \sum_{v \in children(u)} dp[v][0] \] 这里 \( w_u \) 表示节点 \( u \) 的权重[^4]。 - 如果没有选择节点 \( u \),则可以自由选择或选择它的任意孩子节点,因此有: \[ dp[u][0] = \sum_{v \in children(u)} \max(dp[v][0], dp[v][1]) \] 最终的结果即为根节点处的最大值: \[ result = \max(dp[root][0], dp[root][1]) \] #### 实现代码 以下是基于上述思想的一个 Python 实现: ```python from collections import defaultdict, deque def max_independent_set(tree, weights): n = len(weights) dp = [[0, 0] for _ in range(n)] # dp[i][0]: 选 i 节点; dp[i][1]: 选 i 节点 def dfs(node, parent): # 初始化 dp 值 dp[node][1] = weights[node] # 当前节点被选中 for neighbor in tree[node]: if neighbor != parent: dfs(neighbor, node) # 更新 dp 值 dp[node][0] += max(dp[neighbor][0], dp[neighbor][1]) dp[node][1] += dp[neighbor][0] # 子节点能被选中 root = 0 # 可以假设任何节点作为根节点 dfs(root, -1) return max(dp[root][0], dp[root][1]) # 构建测试用例 if __name__ == "__main__": edges = [(0, 1), (0, 2), (1, 3), (1, 4)] weights = [3, 2, 5, 1, 6] tree = defaultdict(list) for u, v in edges: tree[u].append(v) tree[v].append(u) print(max_independent_set(tree, weights)) # 输出结果应为最大权值和 ``` #### 时间复杂度分析 由于每个节点仅需遍历一次,并且每次更新操作涉及常数次计算,故整体时间复杂度为线性的 \( O(N) \)。 --- ###
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