P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

最新推荐文章于 2023-04-02 20:07:14 发布

原创最新推荐文章于 2023-04-02 20:07:14 发布 · 102 阅读

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本文介绍了如何解决给定有根多叉树中两个点的最近公共祖先问题。通过建立father数组并利用二进制求解技巧，可以有效地进行查询。文章提供了样例输入输出，以及使用链式向前星存图的代码实现。

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传送门洛谷P3379

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例

Input
5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5
Output
4
4
1
4
4

题解

用father[i][j]表示节点i向上走2^j的节点，father[i][0]自然就是i的父节点，father[i][j]=father[father[i][j-1]][j-1]。
当查询a和b的最近公共祖先时，最暴力的方法就是先把两个节点深度统一，然后一起往上一步一步走，到相同为止。用father数组处理后，每次就可以一段一段地往上面走。
假设a的深度比b大，先将a移动到和b深度相同的位置，每次向上走2^(log(depth[x]-depth[y])/log(2.0))个，直到a,b深度相同为止。
当两个深度相同后，从i=log(depth[x])/log(2.0)开始，只要father[x][i]和father[y][i]不同，就往上面跳，i递减，这样只要他们有公共祖先，就一定能跳到公共祖先的孩子位置。
用递推的方法求lg数组，lg[i]表示log(i)/log(2)+1.
链式向前星存图

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=5e5+7;
const int maxm=5e5+7;
const int inf=1<<32-1;
int Begin[maxn],father[maxn][22],depth[maxn],lg[maxn];
struct Edge{
	int to,next;
}ae[maxm<<1];
int tot=0,n,m,s;
void add(int x,int y){
	ae[tot]=(Edge){y,Begin[x]};
	Begin[x]=tot++;
}
void dfs(int now,int fa){
	depth[now]=depth[fa]+1;
	father[now][0]=fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=depth[now];i++)
		father[now][i]=father[father[now][i-1]][i-1];
	for(int i=Begin[now];~i;i=ae[i].next){
		if(ae[i].to!=fa)dfs(ae[i].to,now);
	}
}
int Lca(int x,int y){
	if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
	while(depth[x]>depth[y])
		x=father[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
	if(x==y)return x;
	for(int i=lg[depth[x]];i>=0;i--)
		if(father[x][i]!=father[y][i])
			x=father[x][i],y=father[y][i];
	return father[x][0];
}
int main(){
	INIT(Begin,-1);
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
	int x,y;
	for(int i=0;i<n-1;i++){
		scanf("%d %d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
	dfs(s,0);
	while(m--){
		scanf("%d %d",&x,&y);
		printf("%d\n",Lca(x,y));
	}
	return 0;
}