UVA 11768 - Lattice Point or Not（数论）

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本文介绍了如何解决UVA11768-LatticePointorNot问题，通过将直线方程转换为整数形式并利用扩展欧几里得算法找出整数解的方法，特别考虑了特殊情况的处理。

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UVA 11768 - Lattice Point or Not

题目链接

题意：给定两个点，构成一条线段，这些点都是十分位形式的，求落在这个直线上的正数点。

思路：先把直线表达成a x + b y = c的形式，a，b, c都化为整数表示，然后利用扩展gcd求出x和y的通解，然后已知min(x1, x2) <= x <= max(x1, x2), min(y1, y2) <= y <= max(y1, y2)，这样一来就可以求出通解中t的范围，t能取的整数就是整数解，就得到答案。

值得注意的是，直线为平行坐标系的情况，要特殊判断一下

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f;
int t;
long long xx1, yy1, xx2, yy2;
long long a, b, c;

long long read(){
	double t;
	scanf("%lf", &t);
	return (long long)(10 * (t + 0.05));
}

long long gcd(long long a, long long b) {
	if (!b) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
	if (!b) {x = 1; y = 0; return a;}
	long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

void build() {
	a = (yy2 - yy1) * 10;
	b = (xx1 - xx2) * 10;
	c = (yy2 - yy1) * xx1 + (xx1 - xx2) * yy1;
	long long t = gcd(gcd(a, b), c);
	a /= t; b /= t; c /= t;
}

long long solve() {
	long long ans = 0;
	long long x, y;
	long long d = exgcd(a, b, x, y);
	long long up = INF, down = -INF;
	if (xx1 > xx2) swap(xx1, xx2);
	if (yy1 > yy2) swap(yy1, yy2);
	if (c % d) return ans;
	if (b / d > 0) {
		down = max(down, (long long)ceil((xx1 * d * 1.0 / 10 - x * c * 1.0) / b));
		up = min(up, (long long)floor((xx2 * d * 1.0 / 10 - x * c * 1.0) / b));
 	}
 	else if (b / d < 0) {
 		up = min(up, (long long)floor((xx1 * d * 1.0 / 10 - x * c * 1.0) / b));
		down = max(down, (long long)ceil((xx2 * d * 1.0 / 10 - x * c * 1.0) / b));
  	}
  	else if (xx1 % 10) return ans;
  	if (a / d > 0) {
  		down = max(down, (long long)ceil((y * c * 1.0 - d * yy2 * 1.0 / 10) / a));
  		up = min(up, (long long)floor((y * c * 1.0 - d * yy1 * 1.0 / 10) / a));
   	}
   	else if (a / d < 0) {
   		up = min(up, (long long)floor((y * c * 1.0 - d * yy2 * 1.0 / 10) / a));
  		down = max(down, (long long)ceil((y * c * 1.0 - d * yy1 * 1.0 / 10) / a));
   	}
   	else if (yy1 % 10) return ans;
   	if (down <= up)
   		ans += up - down + 1;
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		xx1 = read(); yy1 = read(); xx2 = read(); yy2 = read();
		build();
		printf("%lld\n", solve());
 	}
	return 0;
}