hdu 5780 gcd 欧拉函数加分块

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本文介绍了一种使用分块技术优化计算的方法，并通过线筛预处理欧拉函数值来解决特定数学问题。该方法利用了等比数列求和原理减少重复计算，适用于处理大规模数据集。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先线筛求出1-1000000的欧拉值也就是小于它与它互质的数的个数
然后bc本场题解给出解法也很好想
重点是分块
因为当n/d相同时n可能取多个值所以可以分块
当扫到i的时候 i 到 n/(n/i)（这个式子求得是n/i结果相同的最大满足值）这段区间可以等比数列求值而不用一个个扫
分块思想很好用。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define maxn 1000005
#define LL long long
#define mod 1000000007ll
using namespace std;
int prime[maxn],l,ans[maxn],pre[maxn],n;
LL s[maxn] = {0};
bool flag[maxn];
void Eorue()
{
     for(int i=2;i<=maxn;i++)
         {
             if(!flag[i]){
                 prime[l++] = i;
                 pre[i] = i-1;
                 ++ans[i];
             }
             for(int j=0;j<l&&prime[j]*(LL)i<=maxn;j++)
             {
                 flag[prime[j]*i] = true;
                 if(i%prime[j]==0){
                     pre[i*prime[j]] = pre[i]*prime[j];
                     break;
                 }
                 else pre[i*prime[j]] = pre[i]*(prime[j]-1);
             }
         }
     s[1] = 1;
     for(int i=2;i<=1000003;i++)
         s[i] = (s[i-1] + 2*pre[i])%mod;
}
LL fastMod(LL a,LL n)
{
    LL tem = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1ll)tem*=a;
        a*=a;
        a%=mod;
        tem%=mod;
        n>>=1ll;
    }
    return tem%mod;
}
int main()
{
    Eorue();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int x,n;
        LL ans = 0;
        scanf("%d%d",&x,&n);
        if(x==1){printf("0\n");continue;}
        LL ni = fastMod(x-1,mod-2);
        LL pre = 1,k = (int)sqrt(n);
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            pre*=x;
            pre%=mod;
            ans = (ans+s[n/i]*(pre-1))%mod;
        }
        k++;
        while(k<=n)
        {
            LL l = n/k,r = n/l;
            ans+=fastMod(x,k)*(fastMod(x,r-k+1)-1)%mod*ni%mod*s[l]%mod;
            ans-=(r-k+1)*s[l]%mod;
            ans = (ans%mod+mod)%mod;
            k = r+1;
        }
        ans%=mod;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}