hdu 5780 gcd 线性筛+数论

最新推荐文章于 2021-07-08 19:01:28 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-08 19:01:28 发布 · 365 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论同时被 2 个专栏收录

24 篇文章

订阅专栏

线性筛

15 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用数论中的技巧解决特定数学问题的方法。问题要求计算一系列数值的组合，通过巧妙地运用数学定理将问题简化，并采用高效的算法实现。文章详细解析了如何枚举最大公约数并应用欧拉函数进行计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出n个x，求 $\sum_{1\le a,b\le n}gcd(x^a-1,x^b-1)$
$1\le n,x\le100000$ ，300组数据。

分析

有个结论就是 $gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1$
枚举 $d=gcd(a,b)$ 后答案就等于

\sum d = 1 n (x d - 1) (2 \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ φ (j) - 1)

$\sum_{d=1}^n(x^d-1)(2\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(j)-1)$
直接大力分块即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1000005;
const int MOD=1000000007;

int tot,prime[N],phi[N];
bool not_prime[N];

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void get_prime(int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
    for (int i=2;i<=n;i++) (phi[i]+=phi[i-1])%=MOD;
}

int get(int x,int l,int r)
{
    if (x==1) return r-l+1;
    return (LL)(ksm(x,r+1)+MOD-ksm(x,l))*ksm(x-1,MOD-2)%MOD;
}

int main()
{
    get_prime(1000000);
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int x,n;scanf("%d%d",&x,&n);
        int ans=MOD-(LL)n*n%MOD;
        for (int i=1,last;i<=n;i=last+1)
        {
            last=n/(n/i);
            (ans+=(LL)(phi[n/i]*2-1)*get(x,i,last)%MOD)%=MOD;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}