WHUT杯数学竞赛好题若干

最新推荐文章于 2025-12-05 14:37:41 发布

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#算法 #矩阵 #数学建模

本文深入解析了四道数学竞赛中的难题，包括复杂数学积分、极限求解、序列计数及方程实根问题，提供了详细的解题思路与方法。

数学竞赛好题几例

雨中漫步

(1) $∫−∞+∞dx(x2+2x+2)n\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}}}$

解：
$x+1=tan⁡t进行换元:x+1=\tan t\text{进行换元}:$
$∫−∞+∞dx(x2+2x+2)n=∫−∞+∞cos⁡2n−2tdt\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{\left( x^2+2x+2 \right) ^n}}=\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos ^{2n-2}t}dt$
$根据wallis公式:\text{根据}wallis\text{公式}:$
$∫−∞+∞cos⁡n−2tdt=2⋅(2n−3)!!(2n−2)!!⋅π2\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos ^{n-2}t}dt=2\cdot \frac{\left( 2n-3 \right) !!}{\left( 2n-2 \right) !!}\cdot \frac{\pi}{2}$
$=(2n−3)!!(2n−2)!!π\qquad \qquad =\frac{\left( 2n-3 \right) !!}{\left( 2n-2 \right) !!}\pi$

(2)求极限: $(b>1)\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) \sum\limits_{i=0}^{n-1}{b^{\frac{i}{n}}\sin b^{\frac{2i+1}{2n}}}\ \ \left( b>1 \right)$