KMP算法详解

kmp算法又称“看毛片”算法,是一个效率非常高的字符串匹配算法。不过由于其难以理解,所以在很长的一段时间内一直没有搞懂。虽然网上有很多资料,但是鲜见好的博客能简单明了地将其讲清楚。在此,综合网上比较好的几个博客(参见最后),尽自己的努力争取将kmp算法思想和实现讲清楚。

kmp算法完成的任务是:给定两个字符串O和f,长度分别为n和m,判断f是否在O中出现,如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历a的每一个位置,然后从该位置开始和b进行匹配,但是这种方法的复杂度是O(nm)。kmp算法通过一个O(m)的预处理,使匹配的复杂度降为O(n+m)。

kmp算法思想

我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f,当匹配到位置i时两个字符串不相等,这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位,但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实,所以效率不高。事实上,如果我们提前计算某些信息,就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位,我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论:

  • A段字符串是f的一个前缀。
  • B段字符串是f的一个后缀。
  • A段字符串和B段字符串相等。

所以前移k位之后,可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足:长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样,我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。


所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度(不包括字符串本身,否则最大长度始终是字符串本身)。获得f每一个位置的最大公共长度之后,就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时,我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位,接着继续比较下一个位置。事实上,字符串f的前移只是概念上的前移,只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。


next数组计算

理解了kmp算法的基本原理,下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点,next数组表示的是长度,下标从1开始;但是在遍历原字符串时,下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i],分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度,现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到,如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同(下标从零开始),则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同,我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割,获得其最大公共长度next[next[i]],然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造,如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同,则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等,就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串,直到字符串长度为0为止。由此我们可以写出求next数组的代码(Java版):

[java]  view plain  copy
 print ?
  1. public int[] getNext(String b)  
  2. {  
  3.     int len=b.length();  
  4.     int j=0;  
  5.           
  6.     int next[]=new int[len+1];//next表示长度为i的字符串前缀和后缀的最长公共部分,从1开始  
  7.     next[0]=next[1]=0;  
  8.           
  9.     for(int i=1;i<len;i++)//i表示字符串的下标,从0开始  
  10.     {//j在每次循环开始都表示next[i]的值,同时也表示需要比较的下一个位置  
  11.         while(j>0&&b.charAt(i)!=b.charAt(j))j=next[j];  
  12.         if(b.charAt(i)==b.charAt(j))j++;  
  13.         next[i+1]=j;  
  14.     }  
  15.           
  16.     return next;  
  17. }  

上述代码需要注意的问题是,我们求取的next数组表示长度为1到m的字符串f前缀的最大公共长度,所以需要多分配一个空间。而在遍历字符串f的时候,还是从下标0开始(位置0和1的next值为0,所以放在循环外面),到m-1为止。代码的结构和上面的讲解一致,都是利用前面的next值去求下一个next值。

字符串匹配

计算完成next数组之后,我们就可以利用next数组在字符串O中寻找字符串f的出现位置。匹配的代码和求next数组的代码非常相似,因为匹配的过程和求next数组的过程其实是一样的。假设现在字符串f的前i个位置都和从某个位置开始的字符串O匹配,现在比较第i+1个位置。如果第i+1个位置相同,接着比较第i+2个位置;如果第i+1个位置不同,则出现不匹配,我们依旧要将长度为i的字符串分割,获得其最大公共长度next[i],然后从next[i]继续比较两个字符串。这个过程和求next数组一致,所以可以匹配代码如下(java版):

[java]  view plain  copy
 print ?
  1. public void search(String original, String find, int next[]) {  
  2.     int j = 0;  
  3.     for (int i = 0; i < original.length(); i++) {  
  4.         while (j > 0 && original.charAt(i) != find.charAt(j))  
  5.             j = next[j];  
  6.         if (original.charAt(i) == find.charAt(j))  
  7.             j++;  
  8.         if (j == find.length()) {  
  9.             System.out.println("find at position " + (i - j));  
  10.             System.out.println(original.subSequence(i - j + 1, i + 1));  
  11.             j = next[j];  
  12.         }  
  13.     }  
  14. }  

上述代码需要注意的一点是,每次我们得到一个匹配之后都要对j重新赋值。

复杂度

kmp算法的复杂度是O(n+m),可以采用均摊分析来解答,具体可参考算法导论。

参考资料

1.     kmp算法小结

2.     kmp算法详解

3.     kmp算法

4.     kmp算法的理解与实现

开源实现

如果大家想实际用该算法,给大家提供一个实例: java记事本

PS:

最后再给大家补几个图,希望有助于大家理解。


科赫曲线


自身结构重复展开


转自   http://blog.youkuaiyun.com/yutianzuijin/article/details/11954939/

<think>好的,用户想要了解KMP算法的详细解释和使用方法,包括实现步骤和示例代码。我需要根据提供的引用资料来整理回答。首先,KMP算法的核心思想是通过预处理模式串生成next数组,避免回溯主串指针,提高匹配效率。接下来,我需要分步骤解释算法流程,比如如何构建next数组,如何进行匹配过程。然后,给出一个具体的示例代码,可能用Python来实现,因为用户之前的示例也是Python。还要注意用户提到的系统级指令,比如数学公式的格式,独立公式用$$...$$,行内用$...$。同时,回答中需要自然地添加引用标识,比如在提到优化效率时引用[^2]。最后,生成相关问题,比如next数组的构建方法、时间复杂度分析等。需要确保LaTeX语法正确,比如模式串的前缀函数可能用数学表达式表示。检查是否有遗漏的步骤,比如部分匹配表的生成过程,确保逻辑清晰,结构合理。</think>### KMP算法详解及实现 #### 一、核心思想 KMP算法通过**前缀函数**预处理模式串生成$next$数组,使得匹配失败时能跳过无效比较。其核心是保持主串指针$i$不回溯,仅调整模式串指针$j$,将时间复杂度从暴力算法的$O(n \times m)$优化到$O(n + m)$[^3]。 #### 二、实现步骤 1. **构建next数组** - 定义:$next[j]$表示模式串$P[0..j]$中最长相等前后缀长度 - 递推公式: $$ next[j] = \begin{cases} -1 & j=0 \\ max\{k \mid 0 \leq k<j \text{ 且 } P[0..k] = P[j-k..j]\} & \text{其他情况} \end{cases} $$ - 示例:模式串"ABABC"的$next$数组为$[-1,0,0,1,2]$ 2. **匹配过程** - 初始化$i=0$, $j=0$ - 当$i < \text{主串长度}$且$j < \text{模式串长度}$: - 若$j=-1$或主串$T[i] = P[j]$,则$i++, j++$ - 否则$j = next[j]$ - 当$j \geq \text{模式串长度}$时匹配成功 #### 三、Python实现示例 ```python def kmp(text, pattern): n, m = len(text), len(pattern) next_arr = get_next(pattern) i = j = 0 while i < n and j < m: if j == -1 or text[i] == pattern[j]: i += 1 j += 1 else: j = next_arr[j] return i - j if j == m else -1 def get_next(pattern): m = len(pattern) next_arr = [-1] * m k = -1 for j in range(1, m): while k >= 0 and pattern[j] != pattern[k+1]: k = next_arr[k] if pattern[j] == pattern[k+1]: k += 1 next_arr[j] = k return next_arr ``` #### 四、示例说明 主串$T= "ABABABABC"$,模式串$P= "ABABC"$时: 1. 生成$next=[-1,0,0,1,2]$ 2. 匹配失败时通过$next$数组跳过冗余比较 3. 最终在第4次调整后匹配成功[^1]
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