codeVS 1012 最大公约数与最小公倍数题解

题目描述 Description

输入二个正整数$x_0,y_0(2<=x_0<100000,2<=y_0<=1000000)$,求出满足下列条件的P,Q的个数

条件: 1.P,Q是正整数

2.要求P,Q以$x_0$为最大公约数,以$y_0$为最小公倍数.

试求:满足条件的所有可能的两个正整数的个数.

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输入描述 Input Description

二个正整数$x_0$,$y_0$

输出描述 Output Description

满足条件的所有可能的两个正整数的个数

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样例输入 Sample Input

3 60

样例输出 Sample Output

4

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题目分析

问题分类为数论题，自然考察的重点在于数论知识。知道了

两个数的乘积等于他们最大公约数与最小公倍数的乘积
即$p*q=x_0*y_0$

这一点之后，问题就简单了不少。

p、q乘积已知，$p<=q$则有$p<=sqrt(p*q)=sqrt(x_0*y_0)$，又因为最大公约数为$x_0$则有$p>x_0$。只需要遍历从$x_0$到$sqrt(p*q)$之间的数即可。
由于p*q乘积一定，故只要保证$x_0$是p和q的最大公约数则最小公倍数也必是$y_0$。最大公约数的求法可以用欧几里得算法。

int gcd(int a,int b)  
{  
  while(b!=0)  
  {  
    int o = a%b;  
    a = b;  
    b = o;  
  }  
  return a;  
}  

遍历从$x_0$到$sqrt(x_0*y_0)$之间的整数，满足能被$x_0*y_0$整除且最大公约数为$x_0$的即为可能的p，此时计数器加一。
有了上述思路，题目就很简单了，代码如下：

//codeVS 1012 
#include <iostream>
#include <cmath>
int gcd(int a,int b)  
{  
  while(b!=0)  
  {  
    int o = a%b;  
    a = b;  
    b = o;  
  }  
  return a;  
}  
int main(){
    int x0,y0;
    std::cin>>x0>>y0;
    int s = x0*y0;
    int t=0;
    for(int i=x0;i<=pow(s,0.5);++i){        
        if(s%i==0&&gcd(s/i,i)==x0)++t;
    }
    std::cout<<2*t;
    return 0;
}