判别域代数界面方程法----位势函数分类法

本文介绍了一种基于位势函数的分类方法,适用于线性和非线性可分问题。通过定义两类样本点的位势函数,并利用径向基函数(RBF)作为位势函数之一,该方法能够构建出复杂的决策边界。

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此方法可用于非线性可分情况,也可用于线性可分情况。

位势函数的概念:

位势为0的等位线——判决界面(判别函数)对于两类问题w1,w2,认为
    如果x\inw1,则x 带正电荷
    如果x\inw2,则x 带负电荷

将上述分类思想数学化,需定义点x_j处的位势函数K(x,x_j),它应该满足:

  1. K(x,x_j)=K(x_j,x)
  2. K(x,x_j)是连续光滑函数
  3. K(x,x_j)xx_j之间距离的单值单调下降函数。当且仅当x=x_j时,K(x,x_j)达到最大值。当x与x_j之间的距离趋于无穷大时,K(x,x_j)趋于零。

两类位势函数

第一类位势函数。设\{\varphi _i(x);i=1,2,...\}是x定义域中的完备正交函数集,位势函数取为

K(x,x_j)=\sum_{i=1}^{m}\varphi _i(x)\varphi_i(x_j)

这是对称的有限项多项式。

 

第二类位势函数。取关于x和x_j的距离的对称函数作位势函数,这类函数通常称为径向基函数(RBF),例如:

其中,\alpha为常数,其作用是控制位势函数衰减的速度。当类间的界面越复杂时,\alpha的选择应该使位势函数衰减得越快。

由位势函数产生判别函数的训练算法及分类规则

设训练模式集为{x_1,x_2,...,x_N},它们分属\omega _i类和\omega _j类。定义一个位势函数K(x,x_j)

1.初始化。令特征空间中各点处的初始积累位势函数K_0(x)=0,判错计数m=0。

2.令j=1,输入训练模式x_1,使积累位势函数

3.令j=j+1,输入x_j,计算积累位势函数

积累位势函数的调整规则为

4.如果j<N,返回第3步。如果j=N,检查是否有模式判错;若m=0,则结束。d(x)=K_j(x);若m≠0,令j=0,m=0返回第三步。

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