汽车防撞系统最坏情况分析

汽车防撞系统最坏情况分析

摘要

汽车防撞（CA）系统通过制动或转向的自主干预帮助驾驶员避免碰撞。如果干预决策过早做出，可能会对驾驶员造成困扰；而如果决策过晚，则会降低干预的安全效益。通常，干预决策基于威胁函数。由于威胁函数的输入状态空间维度通常很高，导致在实车中进行穷尽评估变得难以处理。本文提出一种高效估算碰撞避免系统性能保守边界（即最坏情况性能）的方法。针对纵向或横向预测以及测量误差，推导出关于过早或不必要的干预的最坏情况性能的闭式表达式。同时，我们还推导了鲁棒避让场景的闭式表达式，在这些场景中不会发生不必要的干预。对于一个系统示例，数值结果展示了决策时机和鲁棒性如何依赖于场景和系统参数。该方法可用于定义系统需求、系统验证、系统调优或针对场景变化和传感器测量误差的系统灵敏度分析。

I. 引言

AUTOMOTIVE 碰撞避免（CA）系统监控周围环境，并利用这些信息帮助驾驶员避免或减轻与其他道路使用者或静止目标物体的碰撞。当碰撞即将发生时，系统可通过自主进行制动或转向干预，以降低碰撞速度或完全避免即将发生的碰撞。为了做出该决策，系统需要评估情况的严重程度。如果系统在非严重情况下进行干预，可能会对驾驶员造成困扰；另一方面，如果系统在严重情况下未进行干预，则无法实现其设计目的。这两种干预分别称为不必要的和遗漏的干预。

本文研究了评估特定碰撞避免系统做出正确决策能力的问题。这些决策基于传感器测量值和对未来情况的预测周围道路使用者的行为。碰撞避免系统存在基本的局限性，因为其决策可能受到未知的系统性传感器误差的影响，而这些决策的正确性取决于周围物体未来有时不可预测的行为。

碰撞避免系统功能的输入状态空间维度通常非常大，使得通过实车测试驾驶进行穷尽评估变得不可行。此外，事件和误差的发生时间决定了它们是否会影响干预决策，因为该决策通常基于一系列测量值的历史记录。因此，要评估实车测试是否已覆盖了系统做出错误决策的大多数场景是非常困难的。当处理不必要的干预问题时，这种挑战尤为突出，因为这些情况通常可能在任何非迫在眉睫的碰撞情境中发生。而漏报的干预仅限于碰撞即将发生的场景，这使得可能的场景集合显著减小。

本文的核心思想是理论研究碰撞避免系统在系统性测量误差和未来物体的意外运动条件下的基本限制。具体而言，我们考虑了传感器和执行器延迟的影响，并推导出性能的闭式表达式，重点在于早期干预和不必要的干预。通过对场景子集的最坏情况性能进行理论评估，可高效地处理输入状态空间的高维度问题。这种高覆盖率高效评估方法可用于多种用途，例如定义系统组件要求、验证、敏感性分析、调优、效益/风险评估，以及加深对被评估系统的理解。

首先，第二节介绍了相关工作，接着第三节包含通用定义、术语和问题表述。第四节给出了一个碰撞避免系统示例，该示例将使用第三节中的框架进行评估。第五节定义了系统分析所用的场景，随后在第六节中推导了这些场景下的最坏情况系统性能以及鲁棒避让场景。最后，第七节展示了系统示例的数值结果，第八节给出了结论。

II. 相关工作

本节包含两部分。首先，对防撞系统进行概述，因为此类系统的设计对本文的主题有影响，即对所述系统的性能评估。其次，介绍了专门针对性能评估的研究工作。

A. 防撞系统

防撞应用系统使用传感器来监测环境，并根据这些测量值预测当前和未来的系统状态。状态估计和预测方法被用于sensorfusion或tracking系统中，详见[1]和[2]的全面概述。防撞应用中的具体示例由[3]和[4],提供，而详细综述可参见例如[5]。

威胁或态势评估（TA/SA）用于量化自车是否处于危险状况。这些基于模型的算法通过推理自车和检测到的目标物体的未来行为，判断自车是否能够避免未来的碰撞。在传统方法中，会评估有限数量的可能未来避障操作，并使用不同的度量方式来表达碰撞威胁，例如碰撞时间[6],预测最小距离和到达预测最小距离的时间[7],所需加速度（纵向和横向）[8]，或基于反应时间的度量最后制动时刻时间[9]和反应时间[10]。在[11]中表明，通过在相应算法中选择合适的参数值，这些度量中的许多可导致相同的决策结果。类似的方法还考虑了车辆动力学，采用线性单轨模型，如[12]中所述。

处理包含多个目标物体的场景（例如[8],[13]–[18],）以及更复杂的车辆和目标物体动力学的需求，促使了基于仿真的算法在未来路径生成中的应用。为了识别避障轨迹，会生成多个可能的未来路径，这意味着计算复杂度将随着生成路径数量的增加而增长。在仿真方法中，不确定性易于被随机地描述，并且可以估计碰撞概率。基于集合的方法[14],[19]–[21],则使用可达性分析来描述完整的未来轨迹集合。

已使用多种运动模型来预测自车和周围物体的未来运动。常见的假设包括运动具有恒定加速度，例如见[3],[8],，或运动由圆弧段组成，即协调转弯模型，例如见[8],[22]。线性单轨模型常用于引入车辆横向动力学，例如见[5],[12],[16],[19],[20]。为了考虑联合制动与转向操作，需要包含非线性车辆动力学，例如见[21]。

无论对目标物体未来运动做出何种假设，目标物体的操作者都可能改变行为，例如进行意外的操控，从而使这些假设失效。本文探讨了这些建模误差如何传播到预测状态和威胁评估中。

B. 防撞系统性能评估

不同的采样策略先前已被用于碰撞避免系统性能评估。已知的临界情况在测试轨道上对场景进行测试，例如[23],，而通过随机采样，在实车中（例如[3],[23],[24],）或在仿真环境中（例如[11]和[10],）用于验证系统。实车中的数据采集存在重大局限性，即成本高昂且耗时。仿真更节省时间和成本，但受限于计算复杂度和模型精度。为了提高验证效率，本文提出了理论分析方法，以量化最坏情况性能及相应的最坏情况场景。穷尽测试所有可能的场景在实践中难以处理，因此很难判断是否已经采样到最坏情况场景。

在基于实际驾驶数据的场景中，分析了假设为零均值高斯噪声的传感器误差对三种碰撞预警算法的影响。通过分析特定场景，并假设自车与前导车辆之间为恒定相对加速度，得出结论：假设的误差确实对决策时机有显著影响，特别是在威胁评估中使用高阶导数时。提出了一种利用实际驾驶数据评估传感器不确定性影响的方法。该工作得出结论：不确定性取决于具体场景。[25]和[26]均关注随机传感器误差，而本文研究所关注的是系统性传感器误差。

本文所呈现工作的初步发现见于[27],，其中仅讨论了无测量误差的纯纵向场景。本文在此基础上进行了扩展，同时考虑了横向运动以及系统性测量误差。此外，我们针对纵横向传感器测量误差以及传感器和执行器延迟开展了参数变化研究。同时，我们推导了鲁棒避让场景的闭式表达式，即能够保证不会发生不必要干预的场景。

III. 定义与问题表述

本节介绍了碰撞避免系统的定义和一般性描述。基于该系统，我们提出了最坏情况性能问题。

A. 碰撞避免系统总体描述

设r表示包含系统所使用状态的真实系统状态向量，w表示扰动状态向量。

定义1 ：设 RT={r(t) : t ∈ T}和 WT={w(t) :t ∈ T}为在有界时间区间T=[ts , t f]上的状态轨迹。将一个场景 S定义为系统和干扰状态轨迹的集合，即 S={RT,WT}。

传感器系统在离散时间点输出测量状态向量z来观测场景 S 。测量与场景之间的映射关系描述为
$$ z(t)= g(RT_g(t),WT_g(t)) $$
其中 g表示为测量函数，而 T_g(t)是获取测量值的时间间隔。

设 T=[t1 ∈[ts, t]… tn ∈[ts, t]]为从时间 ts到时间t获取测量值的时间点。将测量状态轨迹表示为z(T)=[z(t1)… z(tn)]。该系统利用测量值的历史来估计在时间 t − τS的系统状态向量，其中 τS为传感器延迟。状态估计函数 h根据以下方式估计系统状态
$$ \hat{r}(t − τS|t)= h(z(T)) $$
其中，$\hat{r}(t−τS|t)$ 表示在给定时间 t之前的测量值的情况下，时间 t −τS 的系统状态向量的估计值。

当前情况被评估，并使用威胁函数 F来量化未来危险的威胁，其中 F(t) ≥ 1表示在时间 t进行干预的决策。现在，一个碰撞避免系统已完全由测量、状态估计和威胁函数即 g、 h和 F描述。

B. 问题表述

所研究的问题是针对碰撞避免系统，从不必要的或过早的干预角度出发，评估其最坏情况下的性能。需要评估的系统属性是决策时机 δt，该属性通过将实际干预时刻 tF=1 与期望干预时间 tF0=1 进行比较而得到。

定义2 ：当干预时刻被定义为
$$ tF=1= \min_{t∈T} t \quad \text{subj.to} \quad F(t) ≥ 1 $$

定义3 ：期望干预时间被定义为
$$ tF0=1= \min_{t∈T} t \quad \text{subj.to} \quad F0(t) ≥ 1 $$
其中 F0 是真实的威胁函数。

定义4 ：决策时机被定义为
$$
\delta t=
\begin{cases}
tF=1 − tF0=1 & \exists tF=1, \exists tF0=1 \
\infty & @tF=1, \exists tF0=1 \
-\infty & \exists tF=1,@tF0=1 \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
决策时机表示相对于期望干预时间，干预发生得过早或过晚。现在我们可以基于 δt来定义不必要的干预和遗漏的干预，其中 δt是场景 S的函数。

定义5 ：在场景 S中发生不必要的干预时
$$ \delta t(S) ≤ \delta t_u, $$
其中 $\delta t_u$是由系统需求导出的常数。

定义6 ：在场景 S中发生了一次未检测到的干预，如果
$$ \delta t(S) ≥ \delta t_m, $$
其中 $\delta t_m$ 是由系统需求导出的常数。

由(5)中的第一种情况给出的连续值代表早期和晚期干预，根据定义5和定义6，这些干预可能是不必要的或被遗漏的。第二种和第三种情况分别表示被遗漏的干预和不必要的干预分别。最后一种情况描述了系统正确地决定不干预的情况。

从过早或不必要的干预方面评估最坏情况性能，被表述为一个优化问题。在Ωi中，决策时机误差 $\delta ti^ $的边界由下式给出
$$ \delta ti^ = \min_{S∈Ωi} \delta t(S), $$
其中Ω= ∪Ωi为完整场景集。该属性 $\delta ti^*$ 描述了每个给定子集内系统的最坏情况或下界，而综合起来则描述了Ω中的最坏情况性能。将Ω划分为子集Ωi时，最好根据特定分析的目的进行调整。子集越少，结果越紧凑；而子集越多，可能越能解释结果背后的根本因素。

特别值得关注的是能够保证不做出错误决策的场景集合。

定义7 ：一个鲁棒场景集， R，被定义为
$$ R={S|S ∈Ω ∧ \delta t(S) ∈(\delta tu, \delta tm)}. $$

IV. 系统描述

本节描述了一个用于演示所提出方法的碰撞避免系统示例。该状态估计和预测模型包含了系统性测量误差以及传感器和执行器延迟。所考虑的威胁评估算法假设目标物体与自车之间为纯平移运动，并采用分段恒定加速度模型。选择该系统是为了简化并提高清晰度，相较于使用数值方法或更复杂模型（例如驾驶员行为或车辆动力学）的系统更具优势。在自车与目标物体之间的相对旋转有限的情况下，所选系统模型是满意的近似。实际上，这意味着该模型在高速行驶时（例如在高速公路上）有效，或者在所有速度下的纯纵向场景中均有效。我们指出，存在一些在更广泛的交通场景中更精确的系统。

设相对位置 $p=[x y]^T$ 表示基于主车的坐标系中的一个点，如图1所示。此外，设 $p’=[x’ y’]^T$ 表示在具有相同方向但具有固定原点的全局坐标系中的一个位置。两个坐标系之间的坐标关系描述为
$$ p’ = p’_h + p, $$
其中，$p’_h =[x’_h y’_h]^T$ 是相对坐标系的原点在全局坐标中的表示。与自车行驶方向平行的运动称为纵向，与自车行驶方向垂直的运动称为横向。自车和目标物体的宽度分别用 $w_h$ 和 $w_o$ 表示。

设系统状态向量为 $r=[p^T \dot{p}^T \ddot{p}^T ]^T$，扰动状态向量为 $w=[e^T_p e^T_{\dot{p}} e^T_{\ddot{p}}]^T$，其中例如 $e_p =[e_x e_y]^T$ 为位置测量误差。

自车配备了一个传感器，该传感器以 τS的时间延迟测量或估计目标物体相对于自车的位置p和速度$\dot{p}$，并带有加性测量误差$e_p$和$e_{\dot{p}}$，即测量状态描述为
$$ z(t)=[p(t − τS)+ e_p(t) \dot{p}(t − τS)+ e_{\dot{p}}(t)]. $$

1) 状态估计

状态估计功能 estimates 延迟位置和速度，等于测量值
$$ [\hat{p}(t − τS|t) \hat{\dot{p}}(t − τS|t)] = z(t), $$
即假设在时间 t−τS的估计状态等于在时间 t测得的状态，其中 τS为传感器延迟。此外，假设估计加速度由卷积给出
$$ \hat{\ddot{p}}(t − τS|t)= d(t − τS) * \frac{d}{dt} \hat{\dot{p}}(t − τS|t), $$
其中 d是时间常数为 τF的一阶低通滤波器的脉冲响应。测量数据的质量将影响系统设计时对 τF的选择。 h可以通过使用恒定加速度运动模型的离散时间卡尔曼滤波器来实现。

2) 状态预测

状态预测基于相对加速度保持不变的假设进行
$$ \hat{\ddot{p}}(t − τS+ \tilde{t}|t)= \hat{\ddot{p}}(t − τS|t), \tilde{t} ∈[0, τP] $$
其中 τ P为预测时间。在时间 tP = t − τ S + τ P的预测速度和位置是通过将预测加速度和速度的贡献添加到估计状态中得到的：
$$ \hat{\dot{p}}(tP|t)= \hat{\dot{p}}(t − τ S |t)+\int_0^{τ P} \hat{\ddot{p}}(t − τ S + \tilde{t}|t)d\tilde{t} $$
$$ \hat{p}(tP |t)= \hat{p}(t − τ S |t)+\int_0^{τ P} \hat{\dot{p}}(t − τ S + \tilde{t}|t)d\tilde{t} $$
这意味着，在自车与目标物体之间的相对运动具有非恒定加速度的情况下，通常 $\hat{r}(tP |t) \neq r(tP)$。

3) 威胁评估

碰撞避免系统的威胁函数基于[8]和[28],中详细说明的度量方法，这些方法描述了自车为避免可能的碰撞所需的加速度大小。假设目标物体和主车的未来运动遵循分段恒定加速度模型。此外，假设 x ≥ 0和 $\dot{x} ≤ 0$。

现在，考虑在图1中所示的操控，这些避障操作通过仅转向或仅制动输入，在最晚可能的时间点成功避免碰撞。碰撞威胁可以分别针对仅转向和仅制动操作进行描述。

定义8 ：转向威胁数，，定义为
$$ STN= \frac{\ddot{y}’ {h,req}}{\ddot{y}’ {h,max}} = \frac{\ddot{y}’ h+ \ddot{y}+ \frac{2}{t^2 {tc}}(y \pm \frac{w_h+w_o}{2}+ \dot{y}t_{tc})}{\pm a_{y,max}} $$
其中 $\ddot{y}’ {h,req}$是自车为避免碰撞所需的侧向加速度， $a {y,max}> 0$是最大可用侧向加速度， $t_{tc}$是假设加速度恒定情况下的碰撞时间，由此通过求解得到
$$ x+ \dot{x}t_{tc}+ \frac{\ddot{x}t^2_{tc}}{2} = 0. $$

注意，向左和向右的避障操作通过两个独立的威胁值 SLTN和 SRTN进行评估。这两个威胁值的表达式均由(14)给出，在两个 ±符号中，对 SLTN取加号，对 SRTN取减号。

定义9 ：制动威胁数， BT N，定义为
$$ BT N= \frac{\ddot{x}’ {h,req}}{\ddot{x}’ {h,max}} = \frac{\ddot{x}’ h+ \ddot{x} − \frac{\dot{x}^2}{2x}}{-a {x,max}} $$
其中 $\ddot{x}’ {h,req}$ 是自车避免碰撞所需的纵向加速度， $-a {x,max}< 0$表示可获得的最大纵向减速度。

注意，当 ST N> 1和 BT N> 1时，分别使用仅转向和仅制动操作无法避免与目标物体发生碰撞。因此，理想系统的威胁函数 F0被定义为
$$ F0(t)= \min \left{ BTN(r(t)), SRTN(r(t)), SLTN(r(t)) \right}, $$
其中r(t)是时间 t时的真实系统状态向量。理想系统假设驾驶员是熟练的，能够在最后可能的时刻操控自车以避免即将发生的碰撞。该系统还假设制动系统在被驾驶员激活后立即达到完全能力。

在实际系统中，使用估计值 $\hat{r}$来计算威胁函数
$$ F(t)= \min \left{ BTN(\hat{r}(t+ τ BA|t)), SRTN(\hat{r}(t+ τ SA |t)), SLTN(\hat{r}(t+ τ SA |t)) \right}, $$
其中 τ BA 和 τ S A 分别用于补偿制动和转向执行器的延迟。通过将 τ BA 和 τ S A 设置为执行器的实际延迟，可确保当系统进行干预时，执行器有足够的时间进行干预以完全避免碰撞。如果这些参数较大，则不必要干预的风险会增加，因此可能需要调整参数以实现更保守的系统。例如， τBA= τSA= 0产生的系统仅在碰撞变得不可避免时才进行干预，因为系统状态的预测仅通过补偿传感器延迟来实现，即 τP= τS。

注意，对于仅使用制动执行器的系统，只有在 BT N< ST N 的情况下才能完全避免碰撞。

V. 场景描述

有两种错误可能导致决策错误，即由扰动w引起的测量误差和系统预测错误。式(13)中的状态预测假设自车与目标物体之间为恒定相对加速度，这意味着如果该条件满足，则预测状态仅包含测量误差。

因此，所选的待评估场景集Ω表示在恒定加速度 $\ddot{p} s=[\ddot{x}_s \ddot{y}_s]^T$ 和 $\ddot{p}_f=[\ddot{x}_f \ddot{y}_f]^T$ 之间的过渡，并在图2中示出。此外，设 t= 0定义当 $\ddot{p}_f$达到时的时间，以及 $\ddot{p} {sf} = \ddot{p} f − \ddot{p}_s$。 t ≥ 0的状态轨迹由以下给出
$$ \ddot{p}(t)= \ddot{p}_f $$
$$ \dot{p}(t)= \dot{p}_f + \ddot{p}_f(t − t_f) $$
$$ p(t)= p_f + \dot{p}_f(t − t_f)+ \ddot{p}_f \frac{(t − t_f)^2}{2} $$
子集Ωi考虑了具有共同终止状态的场景， $r(t {f,i})$，作为
$$ Ω_i ={S|S ∈Ω ∧ r(t_{f,i}) = r_{f,i}}, $$
这意味着Ω i 现在完全由初始加速度 $\ddot{p} {s,i}$和终态$r {f,i}$定义。由于加速度$\ddot{p}(t˜)= \ddot{p} {f,i}$和终态$r {f,i}$在Ωi 中是相同的，因此由(20)给出的 t ≥ 0的状态轨迹也相同。

终止状态通过三种类型的场景子集来定义。碰撞集包含自车发生碰撞的场景在自车驾驶员或系统采取无动作的情况下，车辆与目标物体发生碰撞定。

定义10 ：一个碰撞场景子集 $ΩC_i$ 被定义为
$$ ΩC_i={S|S ∈Ωi ∧ x_{f,i}= 0 ∧ y_{f,i} ∈[−\frac{w_h+w_o}{2}, \frac{w_h+w_o}{2}]}, $$

Avoidance子集仅包含无碰撞的场景。

定义11 ：一种加速避让场景子集，$ΩAA_i$，定义为
$$ ΩAA_i={S|S ∈Ωi ∧ x_{f,i}> 0 ∧ \dot{x}_{f,i}= 0}, $$
这包括自车制动或目标物体加速并成功避免碰撞的场景。

定义12 ：一个转向避撞场景子集 $ΩSA_i$ 被定义为
$$ ΩSA_i={S|S ∈Ωi ∧ x_{f,i}= 0 ∧ y_{f,i}\notin[−\frac{w_h+w_o}{2}, \frac{w_h+w_o}{2}]}, $$
这些是自车或目标物体进行横向机动并成功避免碰撞的场景。

另外定义了两个子集，分别将误差限制在纵向或横向方向。在Lateral集合中，纵向方向没有测量误差或相对加速度变化；而在Longitudinal集合中，没有横向测量误差或横向运动。

定义13 ：一个纵向场景子集，$ΩLon_i$，被定义为
$$ ΩLon_i={S|S ∈Ωi ∧ \dot{y}= 0 ∧ e_y= e_{\dot{y}}= 0}, $$

定义14 ：一个横向场景子集 $ΩLat_i$ 被定义为
$$ ΩLat_i={S|S ∈Ωi ∧ \ddot{x} {sf} = 0 ∧ e_x= e {\dot{x}}= 0}, $$
纵向碰撞和加速避让场景如图3所示。注意，根据定义10，碰撞场景的终止状态为相对距离为零且碰撞速度非零；而根据定义11，避让场景的终止状态为相对速度为零且具有正距离。因此，所有在图表底部结束的轨迹代表碰撞场景，而在图表右边界结束的轨迹代表避让场景。

VI. 最坏情况性能

本节针对第五节中定义的场景集合，推导了关于过早或不必要的干预方面的最坏情况性能的闭式表达式。具体而言，研究了测量误差和目标物体过去的相对运动如何影响第四节所述系统的决策时机。此外，还推导了鲁棒避让场景的闭式表达式，即不会发生不必要干预的场景。

该系统在(19)中描述的加速度转换之前无预测误差。因此，仅考虑在 t> 0时刻发起的干预，即加速度转换在干预时刻 tF=1之前已完成。根据(5)，决策时机 δt是tF=1与期望干预时间 tF0=1之间的差值。所有场景 S ∈Ωi具有相同的终止状态(21)，且在 t ≥ 0期间具有相同的轨迹(20)，意味着 tF0=1在Ωi中为常数。

由于在给定场景中预测误差通常依赖于完整的测量值历史，因此tF=1在Ωi中不是常数。为了获得Ωi中性能的下界，我们试图估计 tF=1的下界，即干预可能发生的最早时间。

可以证明，威胁函数 ST N（14）和BT N（16）关于位置、速度和加速度估计值是严格递减或递增的。这意味着可以通过为每个状态的误差指定一个闭区间，并假设误差取使威胁函数最大化的边界值，来构建 ST N和 BT N的上界。通过假设这些误差在整个轨迹上均适用，可推导出tF=1、 ∀S ∈ Ωi的下界。

A. 期望干预时间

期望干预时间 tF0=1 通过使用(17)求解 F0(tF0=1)= 1获得。在避让场景中，不会发生碰撞，因此 tF0=1 未定义。对于碰撞场景，通过分别处理 ST N 和 BT N 推导出解析解。注意，对于碰撞场景，末态的时间 tf 与碰撞时刻tc相同。

使用(14)-(15)设置 ST N(r(t)) = 1，并代入(20)中的真实状态向量，可得
$$ t_{STN(r)=1} = t_f − T_{STN} $$
$$ T_{STN} = \sqrt{\frac{2y_b}{\ddot{y}’ {h,r}}} $$
其中
$$ \ddot{y}’ {h,r} = \ddot{y}’_{h,max} − \ddot{y}’_h $$
表示自车剩余可用的侧向加速度，且
$$ y_b= y_f \pm \frac{w_h+ w_o}{2} $$
是目标物体边界相对于自车相应边界在时间 tf 时的横向位置。

类似地，使用(16)设置 BT N(r(t))，并代入(20)中的真实状态向量可得
$$ t_{BTN(r)=1}= t_f − T_{BTN} $$
其中
$$ T_{BTN}=
\begin{cases}
\frac{\dot{x} f}{2\ddot{x}’ {h,r}} & \text{if } \ddot{x} f= 0 \
\frac{\dot{x}_f}{\ddot{x}_f}\left(1 −\sqrt{1 − \frac{\ddot{x}_f}{\ddot{x}’ {h,r}}}\right) & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
and
$$ \ddot{x}’ {h,r}= \ddot{x}’ {h,max} − \ddot{x}’_h $$
是自车可利用的剩余减速度。

tF0=1将等于满足 F0(t) ≥ 1的tBTN(r)=1和 tSTN(r)=1中的最小时间实例。

B. 干预时刻

干预时刻 tF=1 通过求解F(tF=1) = 1 获得，其中 F(t)由(18)定义。状态估计定义为
$$ \hat{r}= r+ \delta r, $$
其中考虑了两种情况。第一种是恒定的纵向误差
$$ \delta r_{Lon}=[\delta x\ 0\ \delta \dot{x}\ 0\ \delta \ddot{x}\ 0]^T, $$
以及第二个恒定的横向误差
$$ \delta r_{Lat}=[0\ \delta y\ 0\ \delta \dot{y}\ 0\ \delta \ddot{y}]^T. $$
ST N和 BT N被分别处理，因此 tF=1将等于满足 F(t) ≥ 1的 tBTN($\hat{r}$)=1和tSTN($\hat{r}$)=1中的最小时间实例。

1) BTN分析

BTN与横向状态无关，这意味着仅考虑存在纵向误差的情况。通过将(20)中的真实状态轨迹和 (35)中的恒定误差代入(34)，然后将状态估计代入(16)，得到 BT N($\hat{r}$(tP|t)) = 1的解，该解表示为
$$ t_{BTN(\hat{r})=1} = t_f −(\tau_P − \tau_S)−
\begin{cases}
\frac{x_f +\delta x}{\dot{x} f} + \frac{(\dot{x}_f +\delta \dot{x})^2}{2\dot{x}_f (\ddot{x}’ {h,r} − \delta \ddot{x})} & \text{if } \ddot{x} f = 0 \
\frac{\dot{x}_f}{\ddot{x}_f} + \frac{V_1}{\ddot{x}_f} + \frac{\delta \dot{x}}{\ddot{x}’ {h,r} − \delta \ddot{x}} & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中
$$ V_1 =\sqrt{\dot{x}^2_f − \ddot{x} f \delta \dot{x}^2 \frac{}{\ddot{x}’ {h,r} − \delta \ddot{x}} − 2\ddot{x} f(x_f + \delta x)\sqrt{1 − \frac{\ddot{x}_f}{\ddot{x}’ {h,r} − \delta \ddot{x}}}}. $$

2) STN分析

通过将(34)中的状态预测代入(14)-(15)，可得到 STN($\hat{r}$(tP|t)) = 1的解。 ST N依赖于纵向和横向状态，且在一般情况下，同时考虑纵向和横向误差时，ST N($\hat{r}$(tP|t)) = 1是一个四阶多项式方程。通过分别考虑定义13和14中的纵向和横向场景，该方程可降为二阶。

对于纵向场景，仅考虑纵向误差求解 STN($\hat{r}$(tP|t)) = 1，即把(20)和(35)代入(34)。解如下所示
$$ t_{STN(\hat{r})=1}= t_f −(\tau_P − \tau_S)− T_{STN}−
\begin{cases}
\frac{x_f+D_1}{\dot{x} f} & \text{if } \ddot{x}_f= 0 \
\frac{\dot{x}_f}{\ddot{x}_f} + \frac{\sqrt{\dot{x}^2_f −2\ddot{x}_f(x_f+D_1)}}{\ddot{x}_f} & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中
$$ D_1= \delta x+ \delta \dot{x}T {STN}+ \delta \ddot{x}\frac{T^2_{STN}}{2}. $$

对于横向场景，仅考虑横向误差来求解 ST N($\hat{r}$(tP|t)) = 1，即将(20)和(36)代入(34)，得到
$$ t_{STN(\hat{r})=1}= t_f −(\tau_P − \tau_S)−
\begin{cases}
\frac{(y_b+\delta y)}{\delta \dot{y}} & \text{if } \ddot{y}’ {h,r} − \delta \ddot{y}= 0 \
\frac{\delta \dot{y}}{\ddot{y}’ {h,r} −\delta \ddot{y}} + \frac{\sqrt{\delta \dot{y}^2+2(y_b+\delta y)(\ddot{y}’ {h,r} −\delta \ddot{y})}}{|\ddot{y}’ {h,r} −\delta \ddot{y}|} & \text{otherwise}.
\end{cases}
$$

C. 最大预测误差

用于干预时刻的闭式表达式(37)、(39)和(41)假设已知状态估计与预测误差的闭区间的边界。接下来，我们将确定由(19)定义的非恒定加速度场景下的最大预测误差。

为清晰起见，这些误差的推导假设不存在测量误差。状态估计滤波器的一阶动态（见(12b)）意味着误差在加速度发生阶跃变化时达到最大值，从而得到如下状态轨迹：
$$ \ddot{p}(t)=
\begin{cases}
\ddot{p} s & \text{if } t< 0 \
\ddot{p}_f & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$$ \dot{p}(t)=
\begin{cases}
\dot{p}_0+ \ddot{p}_st & \text{if } t< 0 \
\dot{p}_0+ \ddot{p}_f t & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$$ p(t)=
\begin{cases}
p_0 + \dot{p}_0 t+ \frac{\ddot{p}_s t^2}{2} & \text{if } t< 0 \
p_0 + \dot{p}_0 t+ \frac{\ddot{p}_f t^2}{2} & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
根据(12b)和(13a)中对预测的假设，tP = t − τS + τP 处的预测加速度描述为
$$ \hat{\ddot{p}}(tP |t)= \hat{\ddot{p}}(t − τS |t)=
\begin{cases}
\ddot{p}_s & \text{if } t< \tau_S \
\ddot{p}_s + \ddot{p} {sf}(1 − e^{−\frac{t − \tau_S}{\tau_F}}) & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
将(12a)、(13a)、(42b)、(42c)和(43a)代入(13b)和(13c)可得
$$ \hat{\dot{p}}(tP|t)=
\begin{cases}
\dot{p} 0+ \ddot{p}_st_P & \text{if } t< \tau_S \
\dot{p}_0+ \ddot{p}_ft_P − \ddot{p} {sf}\tau_P e^{−\frac{t−\tau_S}{\tau_F}} & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$$ \hat{p}(tP|t)=
\begin{cases}
p_0+ \dot{p} 0t_P+ \frac{\ddot{p}_s t^2_P}{2} & \text{if } t< \tau_S \
p_0+ \dot{p}_0t_P+ \frac{\ddot{p}_f t^2_P}{2} − \frac{\ddot{p} {sf} \tau^2_P}{2} e^{−\frac{t−\tau_S}{\tau_F}} & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
在幅度上的最大预测误差 δrP 是通过比较(43)中的估计状态与(42)中的真实状态得到的。最大的误差出现在 t= τS 处
$$ \delta r_P= −[\ddot{p}^T_{sf} \frac{\tau^2_P}{2}\ \ddot{p}^T_{sf}\tau_P\ \ddot{p}^T_{sf}]^T $$

D. 鲁棒避让场景

鲁棒避让场景是指不会发生不必要干预的场景，参见定义7。以下推导了可能导致不必要干预的四个场景参数的极值。超过这些极值的场景将是鲁棒的，即 S ∈ R。

我们研究驾驶员采用的最大安全距离 x∗f和 y∗b，以及目标物体的最小加速度转换 x¨∗sf和 y¨∗sf。

在避让场景中，所有干预均被定义为不必要。可通过检查是否存在干预时刻的解，即(37)、(39)和(41)的解，来推导系统对此类事件的裕度。

对于加速避让场景， S ∈ΩAAi ，自车与目标物体之间的最小距离为 xf。根据(37)，可能引起不必要干预的最大 xf为
$$ x^ {f,BTN}= −\delta x+ \frac{\delta \dot{x}^2}{2(\ddot{x}’ {h,r} − \delta \ddot{x})}, $$
并根据(39)
$$ x^ {f,STN} = −\delta x − \delta \dot{x}T {STN} − \delta \ddot{x} \frac{T^2_{STN}}{2}. $$
如果 xf > x∗f =min(x∗f,BTN , x∗f,STN)，则意味着S ∈ R。此外，仅考虑位置测量误差时， x∗f 是可能导致不必要干预的最小幅值误差。

对于横向转向避让场景 S ∈ ΩLat,SAi ，我们考虑来自(30)的 yb，将其解释为自车与目标物体边界之间的横向距离 x= 0。可能导致不必要的干预的最大距离由(41)得出。
$$ y^* {b,STN} = −\delta y − \frac{\delta \dot{y}^2}{2(\ddot{y}’ {h,r} − \delta \ddot{y})}, $$
意味着 yb > y∗b = y∗b,STN 蕴含 S ∈ R。

进行类似的分析，以确定在存在来自(44)的预测误差的情况下，可能导致不必要的干预的最小幅值加速度变化。以下表达式为了清晰起见，在假设条件下推导得出无测量误差。对于ΩAAi ，根据(37)，可能引起不必要干预的最小加速度变化 x¨∗sf,BTN为
$$ \ddot{x}^ {sf,BTN}= \frac{1}{\tau^2_P} \left( \frac{2x_f}{\ddot{x}’ {h,r}} − 1 \right), $$
以及相应的加速度变化 x¨∗sf,STN 根据(39)
$$ \ddot{x}^ {sf,STN}= \frac{2x_f}{(\tau_P+ T {STN})^2}. $$
因此， x¨sf< x¨∗sf=max(x¨∗sf,BTN, x¨∗sf,STN)意味着 S ∈R。

对于ΩLat,SAi ，根据(41)，在幅值上可能引起不必要干预的最小加速度变化 y¨∗sf,STN
$$ \ddot{y}^* {sf,STN}= \frac{1}{\tau^2_P} \left( \frac{2y_b}{\ddot{y}’ {h,r}} − 1 \right), $$
这意味着例如向右的避让操作，y¨sf> y¨∗sf= y¨∗sf,SRTN意味着 S ∈ R。

VII. 数值结果

使用第六节中提出的表达式获得了系统示例的结果。前两个小节分别展示了纵向和横向场景中的性能，而第三个小节则重点关注鲁棒场景。除非另有说明，数值结果均基于表I中的标称系统和场景参数得出。需要说明的是，所选的参数值仅为示例，使用其他参数值进行相同分析也是十分直接的。

请注意，该表格展示了两种类型的误差，这些误差分别在纵向和横向场景中独立应用，即预测误差和位置测量误差。预测误差是由加速度变化x¨sf 或 y¨sf 引起的，这两种情况均为 3 m/s²。这代表了目标物体较大的加速度，但在大多数道路条件下对于普通道路车辆而言是可行的。在纵向场景中，由于所选场景具有对称性，左右转向避让操作等效，因此 ST N仅显示一个值。

所选的测量误差与当前汽车目标物体检测系统的量级相当。例如，可在[25],[29]中找到从此类系统收集的数据示例。

该系统假设为高附着条件，这可以从最大加速度ax,max 和 ay,max 中看出。这意味着在低附着道路条件的场景下，系统的干预时机比实际需要更晚，因此该决策是保守的。所研究的实际场景并非 exclusively 高附着条件，因为最大加速度变化被设置为 3 m/s²。

表I 标称参数值

系统	纵向场景	横向场景	参数值
τS	0.2 s	wo	2 m
τBA	0.2 s	x¨′h	0 m/s²
τSA	0 s	y¨′h	0 m/s²
ax,max	10 m/s²	y	0 m
ay,max	7 m/s²	x¨s	0 m/s²
wh	2 m	x˙	-10 m/s
预测误差场景
x¨f	3 m/s²	y¨f	3 m/s²
测量误差场景
δxmin	-1m	δymin	-1m
δxmax	1m	δymax	1m

A. 纵向场景

名义系统在纵向碰撞和避让场景中的决策时机，给定加速度变化 x¨sf，如图4和图5所示。值得注意的是，在图4中，对于高碰撞速度，干预由 STN决定，而对于低碰撞速度，则由 BTN决定。最坏情况与期望干预时间之间的差异，即 δt∗，当估计的 ST N和 BT N相等时存在局部最小值。

图5展示了由预测误差引起的干预如何在避让场景中被触发。在这种情况下，发生干预的最大 xf 受限于估计的 BTN。

同样，测量误差的决策时机如图6和图7所示。如图6所示，该误差在较小的碰撞速度 x˙f 下影响最大。原因在于，当 x˙f 取值较小时，干预发生在较近的距离，此时误差相对于真实距离较大。干预可能发生的最大距离等于测量误差 δxmin ，如图7所示。

根据(44)，预测误差取决于传感器和执行器延迟。图8展示了在纵向碰撞场景中，不同传感器延迟下决策时机的最坏情况误差 δt∗的比较。图9给出了制动执行器延迟的等效比较。性能随着延迟增加而下降，并出现两个极值：第一个出现在估计的 STN和 BTN相等时，如图4所示；第二个出现在低碰撞速度时。

δxmin对 δt∗具有类似的影响，参见图10。当 δxmin= 0时，制动执行器延迟补偿在图中直接可见。

B. 横向场景

横向场景中，给定加速度变化 y¨sf 时，碰撞避免系统的决策时机如图11所示。位于 yf = 2 m的垂直线将碰撞场景与避让场景分开。注意，当车辆之间的最终重叠较大（即 yf 值较小）时，干预由 BTN决定；而当最终重叠较小时，干预由 STN决定。对于碰撞场景（即图的左侧部分），最坏情况与期望的干预时间之间的差值 δt∗在估计的 STN和 BT N相等时出现局部最小值，这与纵向场景的情况相同。图的右侧部分说明了在避让场景中也可能触发干预。在这种情况下，发生干预的最大 yf受限于估计的 ST N。

类似地，图12显示了测量误差下的决策时机。该误差仅影响 ST N，因此仅影响自车与目标物体之间横向重叠较小的场景。可能发生干预时车辆边界之间的最大横向距离等于测量误差，更准确地说是 −δymin，可由(47)推导得出。

图13和图14分别显示了在不同传感器延迟和制动执行器延迟下的碰撞场景中的情况。传感器延迟仅影响小重叠的场景。在大重叠场景中，干预决策由 BTN作出，参见图11。由于这些场景中不存在纵向预测误差， BTN被估计得非常准确。对于制动执行器延迟，在大重叠场景中也能观察到影响。这是预料之中的，因为 BTN将补偿执行器延迟并提前做出决策。

测量误差 δymin affect δt∗的幅度对结果的影响方式与传感器延迟类似，参见图15。

C. 鲁棒避让场景

下面将基于第VI-D节中的表达式给出数值结果。首先，我们研究系统总延迟 τP对最大安全距离x∗f和 y∗b的影响，在给定标称加速度变化的情况下。正常驾驶中观察到的场景应具备鲁棒性，即 S ∈ R，以保证不会发生不必要的干预。值得注意的是，图16显示了 x∗f，该距离受到 BTN的限制，这一点在图5中也已观察到。对于向目标物体右侧进行的避让操作，图17示出例如当系统总延迟为 0.4 s时，无法在大于 0.4 m的最终横向距离上触发干预。

潜在位置测量误差可根据(45)、(46)和(47)直接添加到图16和图17中的数值上。

现在考虑在标称值 τP 下引发不必要干预的最小物体加速度变化x¨∗sf 和 y¨∗sf。对于正常驾驶中经常观察到的安全距离，这些最小加速度在正常驾驶中不应频繁出现，以保证鲁棒性。图18 显示了 x¨∗sf 如何依赖于距离xf，图19 显示了相应的横向情况。注意在图18 中，对于短距离， x¨∗sf由 BTN 决定，而对于长距离，则由 STN 决定。

VIII. 结论

本文提出了一种用于高效估计碰撞避免系统性能下限的方法，即最坏情况性能。在碰撞、加速避让和转向避让场景中，研究了决策时机，特别是过早或不必要的干预的发生情况。碰撞避免系统模型包含了测量误差、非理想状态预测以及传感器和执行器延迟。针对存在预测和测量误差情况下的最坏情况决策时机，推导出了闭式表达式。同时，还推导出了鲁棒避让场景的闭式表达式，即保证不会出现不必要干预的场景。

数值结果示例说明了决策时机如何依赖于场景和系统参数。具体而言，展示了在哪些场景中不会发生不必要或过早的干预。一些有趣的观察例如：对于碰撞场景，最坏情况下的时机通常有两个最小值，一个出现在零碰撞速度时，另一个出现在转向避让的估计最晚点与制动避让的估计最晚点在时间上重合时。对于存在预测误差的避让场景，驾驶员为保证不发生不必要的干预所能采用的最小安全距离与 τ²P成正比，其中 τP是系统中的总预测时间。这意味着对传感器或执行器延迟的补偿会迅速增加发生不必要干预的风险。

总之，所提出的方法可用于设计和评估碰撞避让系统。例如，该方法可被用于高效地分析在场景变化、传感器测量误差和系统参数（例如传感器和执行器延迟）变化的情况下，决策时机误差是否满足系统需求。此外，对于避让场景，可通过研究鲁棒场景集来分析其对场景变化和传感器测量误差的敏感性。因此，该方法可用于例如制定传感器和执行器要求。另一个应用是识别出无法证明系统性能令人满意的场景，从而通过将测试和分析工作集中于相关场景来改进现有的测试方法。