本文继续探讨高等数学中的泰勒公式，解释其如何使用导数值构建多项式来近似函数f(x)。泰勒公式有助于理解多元函数的概念与极限，是机器学习中的重要数学基础。
上一节呢，我们回顾了下高等数学中导数应用1和2，这次我们续接上一节的内容，来学习下《泰勒公式》
三、高等数学部分(续接)
- 导数的应用3
- 关于泰勒公式的解释与意义
泰勒公式可以利用这些导数值作为系数，构建一个多项式， 近似的表达函数f(x)
对于函数f(x)
当 x = x 0 有 当x = x_{0}有 当x=x0有
f ′ ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) f ′ ′ ′ ( x 0 ) f ( 4 ) ( x 0 ) f ( 5 ) ( x 0 ) . . . f ( n ) ( x 0 ) f'(x_{0})\ \ f''(x_{0})\ \ f'''(x_{0})\ \ f^{(4)}(x_{0})\ \ f^{(5)}(x_{0})\ \ ...\ \ f^{(n)}(x_{0}) f′(x0) f′′(x0) f′′′(x0) f(4)(x0) f(5)(x0) ... f(n)(x0)
f ( x ) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n + R n ( x ) f(x)=a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + ... + a_{n}x^{n} + R_{n}(x) f(x)=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn+Rn(x)
f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=\frac{f(x_{0})}{0!}+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x) f(x)=0!f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+3!f′′′(x0)(x−x0)3+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
对于近似的表达函数f(x)，参考如下图
- 关于佩亚诺余项的说明
泰勒公式的应用
至此：泰勒公式部分，我们学习的就差不多啦~接下来进入《多元函数概念与极限部分》！
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