错排公式理解和应用 HDU2048 2049 都是这种应用

明天--会更好

于 2013-08-19 12:59:06 发布

阅读量631

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：各种细节问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a_ppler/article/details/10067015

各种细节问题专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

本文介绍了错排问题的递推公式及通项公式，并给出了两种不同的错排公式表达方式。通过递推公式M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]和特殊值M(1)=0,M(2)=1，可以求解任意数量元素的错排数目。此外，还提供了基于级数知识简化得到的优美公式Dn=[n!/e+0.5]，便于计算大量元素的错排情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1）种方法；
综上得到
M(n)=(n-1）[M(n-2）+M(n-1）]
特殊地，M⑴=0,M⑵=1;
化简后的通项公式：

错排公式为M(n)=n！（1/2!-1/3!+…..+(-1）^n/n!)
书上的错排公式为Dn=n！（1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1）^n/n！）（注：0！=1，参见阶乘），此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5] （e，即自然对数的底 ,[x]为取整函数即x向下取整．）

e=2.71828