手搓神经网络——BP反向传播

摆烂…先写这么多，有空来更新（指的是矩阵求导部分懒得写现在）

写在最前面

本打算围绕《Learning representations by back-propagating errors》一文进行解读的

奈何没有中文版的文档（_{笔者懒得翻译English}）

所以文章内容只能根据笔者自身对BP反向传播算法的理解来编写咯~😅

在论文的标题里写了back-propagating errors，即反向传播误差

1. 先通过前向传播计算得最终的输出结果
2. 进而计算与正确值之间的误差
3. 将误差反向传播，更新权重，得以实现“学习”的目的
4. 至于…误差如何反向传播，权重如何更新，也是本文在探讨的

import random
import numpy as np
import tensorflow as tf
from matplotlib import pyplot as plt

定义激活函数、损失函数

这里只采用 ReLU、Sigmoid 作为神经网络的激活函数，MSE 作为损失函数

下面列了这仨的计算公式与导数的计算公式。除了定义计算方式，也定义了其求导公式，因为链式法则，懂吧？😁 就是为了方便后面的求导（也就是误差反向传播）

ReLU

$ReLU=max(0,x)$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\{\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$

Sigmoid

$Sigmoid=\frac{1}{1+e^{-x}}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\cdot (1-x)$

MSE

$MSE=\frac{1}{n}\sum (pred-true{)}^2$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=pred-true$

# ReLU 激活函数
class ReLU:
    def __call__(self, x):
        return np.maximum(0, x)
    # 对 ReLU 求导
    def diff(self, x):
        x_temp = x.copy()
        x_temp[x_temp > 0] = 1
        return x_temp

# Sigmoid 激活函数
class Sigmoid:
    def __call__(self, x):
        return 1/(1+np.exp(-x))
    # 对 Sigmoid 求导
    def diff(self, x):
        return x*(1-x)

# MSE 损失函数
class MSE:
    def __call__(self, true, pred):
        return np.mean(np.power(pred-true, 2), keepdims=True)
    # 对 MSE 求导
    def diff(self, true, pred):
        return pred-true

relu = ReLU()
sigmoid = Sigmoid()
mse = MSE()

简单的 BP 反向传播

这里从最简单的开始，隐藏层只设置一个神经元，用sigmoid作为激活函数

一切随缘🔀，对于x、w、b、true全都随机生成。而这一个神经元的任务就是不断的卷（学习），让输出结果无限接进true

整个神经网络的模型图如下，将就着看吧，笔者懒得弄图😅😅😅

|————————————输入层
|   |————————隐藏层
|   |   |————输出层
〇——〇——〇

前向计算过程：x -> w·x+b -> sigmoid(w·x+b) -> mse(true, sigmoid(w·x+b))

反向计算过程：
$\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}mse(t}{\mathrm{d}w}\end{array}$