四元数小总结

• 四元数记法：

一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。记标量为w，记向量为v或分开的x,y,z。如下：
[w,v]
[w,(x,y,z)]

• 四元数与复数：
  四元数扩展了复数系统 ，它使用三个虚部i,j,k。它们的关系如下：
  $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1;ij=k,ji=-k;ij=k,ji=-k;jk=i,kj=-i;ki=j,ik=-j;$$

一个四元数[w,(x,y,z)]定义了复数 w+xi+yj+zk。

• 四元数和轴-角对：
  四元数能被解释为角位移的轴-角对方式。其公式为下：
  设向量n为旋转轴，θ为绕轴旋转的量
  $$q=[cos(\theta /2)sin(\theta /2)n]=[cos(\theta /2)(sin(\theta /2)nxsin(\theta /2)nysin(\theta /2)nz)]$$

• 负四元数：
  $$-q=[-w(-x-y-z)]=[-w-v]$$q和-q代表的实际角位移是相同的，很奇怪吧！如果我们将θ加上360度的倍数，不会改变q代表的角位移，但它使q的四个分量变负了。因此，3D中的任意角位移都有两种不同的四元数表示方式，它们互相为负。

• 单位四元数：
  几何上存在2个单位四元数：[1,0]和[-1,0]。它们的意义是：当旋转角为360度的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。
  数学上只有一个单位四元数：[1,0]。任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。

• 四元数的模：
  公式如下：
  $$||q||=||[w(xyz)]||=sqrt(w2+x2+y2+z2)=||[wv]||=sqrt(w^2+||v|{|}^2)$$
  几何意义：
  $$||q||=sqrt(cos(\theta /2{)}^2+sin(\theta /2{)}^2||n|{|}^2)$$

若n为单位向量，则：||q||=1

• 四元数共轭：
  $$q\ast =[w-v]=[w(-x-y-z)]$$
• 四元数的逆：
  $$q-1=q\ast /||q||$$

但我们只使用单位四元数，故$q^{-1}=q\ast$
几何解释：使向量v反向，则旋转方向也反向了。因此q绕轴旋转θ角，而q*沿相反的方向旋转相同的角度。

• 四元数乘法（叉乘）：
  $$[w_1{v}_1][w_2{v}_2]=[w_1{w}_2-v_1{v}_2{w}_1{v}_2+w_2{v}_1+v_2\times v_1]$$

四元数叉乘满足结合律但不满足交换律：
$$(ab)c=a(bc)$$

$$ab!=ba$$

四元数乘积的模等于模的乘积：
$$||q_1{q}_2||=||q_1||||q_2||$$

四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘：
$$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$$

如何用四元数将3D点绕轴旋转：
让我们“扩展”一个标准3D点(x,y,z)到四元数空间，通过定义四元数p=[0, (x,y,z)]即可。设q为我们讨论的旋转四元数形式[cos(θ/2) sin(θ/2)n]，n为旋转轴，单位向量，θ为旋转角。你会惊奇地发现，执行下面乘法可使3D点p绕n旋转：
$$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$$

四元数乘法的优势在哪？对点p先执行a旋转再执行b旋转：
$$p^{\prime }=b(ap{a}^{-1})b^{-1}=(ba)p(a^{-1}{b}^{-1})=(ba)p(ba{)}^{-1}$$

注意，先进行a旋转再进行b旋转等价于执行乘积ba代表的单一旋转。因此，四元数乘法可用来连接多次旋转，这和矩阵乘法效果一样。
四元数的“差”：

定义：从一个方位到另一个方位的角位移。

如给定方位a和方位b，求a到b的角位移d。用四元数表示为：$ad=b=>d=a^{-1}b$

• 四元数点乘：
  $$q1\cdot q2=[w1v1]\cdot [w2v2]=w1w2+v1\cdot v2$$
  几何解释：类似于向量点乘的几何解释，两四元数点乘绝对值越大，其代表的角位移越相似。
• 四元数的对数：
  首先，令α=θ/2，||n||=1，则q=[cosα nsinα]=[cosα xsinα ysinα zsinα]，公式如下：
  $$logq=log[cos\alpha nsin\alpha ]=[0\alpha n]$$

注意log q的结果，它一般不是单位四元数。

• 四元数的指数：
  设四元数p的形式为[0, αn]，n为单位向量：
  $$p=[0\alpha n]=[0(\alpha x\alpha y\alpha z)]$$||n||=1
  公式如下：
  $$expp=exp([0\alpha n])=[cos\alpha nsin\alpha ]$$

根据定义，exp p问题返回单位四元数。
四元数指数运算为四元数对数运算的逆运算：
exp(log q)=q

-四元数与标量相乘：
kq=k[w v]=[kw kv]
=k[w (x y z)]=[kw kx ky kz]

• 四元数求冥：
  $$q^t=exp(tlogq)$$

几何意义：对数运算log q提取了轴n和角度θ；接着和指数t进行标量乘时，结果是θ乘以t；最后，指数运算“撤消”了对数运算，以tθ和n重新计算w和v。
求四元数冥的代码如下：

 1     /// <summary>
 2     /// 四元数求冥
 3     /// </summary>
 4     /// <param name="e">指数</param>
 5     /// <param name="w,x,y,z">四元数输入，输出</param>
 6     static void Calc(float e, ref float w, ref float x, ref float y, ref float z)
 7     {
 8         // 检查单位四元数的情况，避免除零
 9         if (Mathf.Abs(w) < 0.9999f)
10         {
11             // 提取半角(θ/2)
12             float alpha = Mathf.Acos(w);
13             // 计算新的alpha值
14             float newAlpha = alpha * e;
15             // 计算数的w值
16             w = Mathf.Cos(newAlpha);
17             float multi = Mathf.Sin(newAlpha) / Mathf.Sin(alpha);
18             // 计算新的xyz值
19             x *= multi;
20             y *= multi;
21             z *= multi;
22         }
23     }

• 四元数插值——“slerp”：

当今3D数学中四元数存在的理由是由于一种称作slerp的运算，即球面线性插值（Spherical Linear Interpolation）。slerp运算非常有用，因为它可以在两个四元数之间平常插值。slerp插值避免了欧拉角插值的所有问题（如万向锁）。

求法一：

设开始与结束的四元数为q0，q1，插值变量设为t，t在[0, 1]之间变化 。则slerp函数定义为: slerp(q0,q1,t)

计算此函数的思路如下：
$$△a=a_1-a_0$$

$$lerp(a_0,a_1,t)=a_0+t△a$$
四元数中，

1. 计算差值：$$q0△q=q_1=>△q=q{0}^{-1}{q}_1$$
2. 取插值的一部分，应用求冥的办法，即(△q)t
3. 初始值加上插值的一部分，应用四元数乘法。
   综上，公式如下：
   $slerp(q0,q1,t)=q_0(q_0^{-1}q1{)}^t$
   这是理论上的公式，实践中，将使用更有效的一种办法

求法二：
slerp的基本思想是沿着4D球面上连接两个四元数的弧插值。
可以把这种思想表现在平面上，如向量v0,v1都是单位向量，w是之间的夹角，t在[0,1]区间，求vt：

求得：vt=(sin(1-t)w/sinw)v0+(sintw/sinw)v1
将同样的思想扩展到四元数上，重写slerp可得：
$$slerp(q_0,q_1,t)=(sin(1-t)w/sinw)q_0+(sintw/sinw)q_1$$

可以用点乘来计算两个四元数间的“角度”。
这里有2点需要考虑：第一，四元数q和-q代表相同的方位，但它们作为slerp参数时可能导致不一样的结果，这是因为4D球面不是欧氏空间的直接扩展。而这种现象在2D和3D中不会发生。解决方法是选择q0和q1的符号使得点乘q0·q1的结果是非负。第二个要考虑的是如果q0和q1非常接近，sinθ会非常小，这时除法可能会出现问题。为了避免这样的问题，当sinθ非常小时使用简单的线性插值。