BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b (莫比乌斯反演)

题意：

有多少对 x属于[a,b] , y属于[c,d], 满足 gcd(x,y)

思路：

直接对于[a,b],[c,d]中的每个gcd（x，y）=k的倍数进行容斥，

1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000  不记莫比乌斯打表的时间，

也会T

看了不少博客，这个题目用了些技巧。

分块：

以前求用过这里两个数就不那么容易想到了，我们知道由于整形除法的一些性质，

[n/2+1,n],[n/3+1,n/2]，[n/4+1,n/3]，n/i都是定值

同样，两个数的时候也用一定的区间，[l，r] 会有  a/i  ，b/i同时是定值

这样我们求出gcd（x，y）=i 的个数都将等于 （a/i）*（b/i），

系数莫比乌斯函数项，我们可以用去区间和的

在[l，r]  ans=sigma（mu[i]*（a/i）*（b/i））=[sigma（mu[i]）]*（a/i）*（b/i）；

求出[sigma（mu[i]）]只要前缀和相减就行

那么两个数怎么分块呢？

注意到
比如 l=100, r=200   
那么 i=34 。。。。。        40   (l / i) * (r / i)都是一样的 2*5 
那么 i=41 。。。。。        50   (l / i) * (r / i)都是一样的 2*4
那么 i=51 。。。。。        66   (l / i) * (r / i)都是一样的 1*3
 34-40,41-50 51-66 是怎么来的呢？ 
 34 = 33+1;
 40 = min(l/(l/34) , r/(r/34));
 41 = 40+1;
 50 = min(l/(l/41) , r/(r/41));
 51 = 50+1;
 66 = min(l/(l/51) , r/(r/51));

我们看到（l/i=2）区间还没断，但是（r/i=5）的区间已经结束了

两个数把各自的分块区间打断了，但是好在时间复杂度并没用太大的改变

容斥：

分块可以降低很大的时间复杂度，但是明显不太好处理区间，我们通常都是求出[1，n]

的结果，所以我们可以用到容斥

ans（[a,b],[c , d]）

=ans([1,b],[1,d])-ans([1,b],[1,c-1])-ans([1,a-1],[1,c])+ans([1,a-1],[1,c-1]);

#include<bits/stdc++.h>
using  namespace std;
#define MAXN 50000
bool check[MAXN+10]; 
int prime[MAXN+10]; 
int mu[MAXN+10]; 
int sum[MAXN+10];
void Moblus() 
{ 
    memset(check,false,sizeof(check)); 
    mu[1]=1;
    int tot = 0; 
   
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++) 
    { 
        if( !check[i] ) 
        { 
            prime[tot++] = i; 
            mu[i] = -1; 
        } 
        for(int j = 0; j < tot; j++) 
        { 
            if(i * prime[j] > MAXN) break; 
            check[i * prime[j]] = true; 
            if( i % prime[j] == 0) 
            { 
                mu[i * prime[j]] = 0; 
                break; 
            } 
            else 
            { 
                mu[i * prime[j]] = -mu[i]; 
            } 
        }
        
    } 
    sum[0]=0;
     for (int i = 1; i <= MAXN; i++)
    {
        sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
    }
} 
// 利用莫比乌斯反演 找[1, n], [1, m]内gcd(i,j)=1的数对的个数
/*
O(n) 枚举（1，l）会T 
ans += mob[i] * (l / i) * (r / i)
注意到
比如 l=100, r=200   
那么 i=34 。。。。。        40   (l / i) * (r / i)都是一样的 2*5 
那么 i=41 。。。。。        50   (l / i) * (r / i)都是一样的 2*4
那么 i=51 。。。。。        66   (l / i) * (r / i)都是一样的 1*3

当 i较大的时候，有些答案可以是mu[i]的前缀和乘以一个定值 
34-40,41-50 51-66 是怎么来的呢？ 
 34 = 33+1;
 40 = min(l/(l/34) , r/(r/34));
 41 = 40+1;
 50 = min(l/(l/41) , r/(r/41));
 51 = 50+1;
 66 = min(l/(l/51) , r/(r/51));
 说白了，也就是找可以一起取定值的区间 
 其实也就类似在[n/2+1,n],[n/3+1,n/2]取的值是定值而可以减少计算
 这里有两个变量 ，两个变量的区间不同步，但是在一端小区间依然是定值 
*/

long long s(int n,int m)
{
    long long ans = 0;
    if (n > m)    swap(n, m);
    for (int i = 1, la = 0; i <= n; i = la + 1)
    {
        la = min(n / (n / i), m / (m / i));
        ans += (long long)(sum[la] - sum[i - 1]) * (n / i) * (m / i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
     Moblus() ;
    int n;
    int a,b,c,d,k;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        long long ans=s(b/k,d/k)-s((a-1)/k,d/k)-s((c-1)/k,b/k)+s((a-1)/k,(c-1)/k);    
        printf("%lld\n",ans);
    }
}