求一个集合的所有子集问题实现

最新推荐文章于 2022-08-08 01:14:57 发布

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#集合 #子集 #JAVA #递推 #大数

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本文介绍了一种高效算法来解决一个数学问题：对于由1至N的正整数组成的集合，如何找出所有非空且元素不相邻的子集，并计算这些子集元素乘积的平方和。通过递推方法将复杂度从指数级降低到O(n)。

**问题描述
已知N个大于0的整数构成一个集合，即{1，2，3，……，N}，求其所有的非空且元素不相邻的子集，计算所有子集的乘积的平方的和。
例如：集合{1，2，3，4}，其所有非空不相邻子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{1，3}，{1，4}，{2，4}
这些子集的乘积的平方和为：
11+22+33+44+(13)(13）+(14)(14)+(24)(2*4)
=1+4+9+16+9+16+64
=39+80
=119
请输入一个整数N（1<=N<=100），表示集合M中的N元素分别为1、2、……、N。输出一个数T，表示集合M中的所有非空不相邻子集中各元素乘积的平方和。
输入
4
输出
119

这题刚开始做的时候，我是用想用队列的方式写：
如开始时队列有
1------>1出队------->此时到2 2与1是相邻，所以不做处理，直接相加，此时为sum=1²+2²=5.
此时队列有2个数，此时到3,1出列与3不是相邻所以sum+=(1*3)²······
一直这样求下去，后来发现，到了双位数就不好处理，而且题目要求99，如此下去队列肯定会炸，而且时间复杂度过不去，算个1分钟结果也出不来的。所以就往另一个方向想。

后来想到的方法是，递推方法   如图：

这里写图片描述
n从1开始一直添加到n，从n=3开始，你会发现相邻的是不可能的，直接排除，相差2的，即为1的所有子集（包括自己）与3都是不相邻。n=5时，n=3符合、n=6时，n=4符合。。。依次递推下去
因此，复杂度一下子从指数级别下降到O(n)，很强势！！
不过现在还有一个问题，就是大数处理，我这里用JAVA的大数，C/C++的话需要自己写一个大数乘法。
JAVA代码如下：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sn = new Scanner(System.in);
		int n = sn.nextInt();
		sn.close();
		BigInteger a1 = new BigInteger("1");
		BigInteger a2 = new BigInteger("5");
		for(int i = 3;i<=n;i++){
			BigInteger ii = new BigInteger(i+"");
			BigInteger temp = a2.add(a1.add(BigInteger.ONE).multiply(ii.multiply(ii)));//递推式子，计算此次的和
			a1=a2;
			a2=temp;
		}
		System.out.println(n==1?1:a2.toString());//如果输入的n为1，则答案就为1，如果其他值输出a2的值
	}
}