17、线性系统迭代方法与特征值求解

线性系统迭代方法与特征值求解

1. 迭代方法误差分析与收敛性

在迭代方法中，有关于误差和收敛性的重要结论。对于迭代过程，有不等式((1 - K)|x_m - x^*| \leq K|x_{m - 1} - x_m|)成立。并且(|x_{m - 1} - x_m| \leq K^{m - 1}|x_0 - x_1|)。

可以将不动点迭代定理直接应用于雅可比（Jacobi）和高斯 - 赛德尔（Gauss - Seidel）迭代，其中(K)分别按相应公式估计。第(m)次迭代的误差大约是(\frac{K}{1 - K})倍的连续迭代差值。也可以通过数值方式估计收缩因子(K)，即(K \approx \frac{|x_{m + 1} - x_m|}{|x_m - x_{m - 1}|})。

从上述公式可以看出收敛是线性的，即每次迭代误差以常数因子减小。一般来说，如果第(m)次迭代的误差小于一个常数乘以先前误差的(n)次幂，即(e_{m + 1} \leq C e_m^n)，则称迭代过程的收敛阶为(n)。例如，牛顿法是二次收敛的。

2. 松弛方法

2.1 松弛方法概述

松弛方法是对雅可比和高斯 - 赛德尔方法的轻微修改，沿着特定公式的思路，将新计算的更新部分与旧的互补部分混合。使用的完整更新的分数(\gamma)是松弛参数。

2.2 雅可比超松弛（JOR）

将该思想应用于雅可比方法得到雅可比超松弛（JOR），其松弛更新公式为：
(x_{m + 1}^i = (1 - \gamma)x_m^i - \frac{\gamma}{a_{ii}}(\sum_{j \neq i}a