45、递归函数学习中的非构造性与k-means++算法的不良实例分析

递归函数学习中的非构造性与k-means++算法的不良实例分析

1. 递归函数学习中的非构造性

在递归函数的归纳推理领域，我们提出了一个融入一定非构造性的模型。在这个模型里，解决学习问题所需的非构造性数量被用作衡量问题难度的定量指标。

我们研究了在各种假设条件下学习整个递归函数类R的问题。这些假设涵盖了从极限学习到有限和最小识别等不同情况。

• 极限学习 ：学习R所需的非构造性数量可能非常小，并且不存在可以用可计算方式描述的最小数量。
• ϕ - 最小极限识别 ：需要2·log n的非构造性。
• ϕ - 最小有限识别 ：需要n + 1的非构造性。

可以看出，每增加一个假设条件，所需的非构造性数量呈指数级增长。不过，这些结果是否能进一步改进仍是一个待解决的问题。

此外，我们还研究了对任何递归函数的索引族进行ϕ - 最小有限识别所需的非构造性数量。在此情况下，我们得到了所需非构造性数量的上界为2·log n，并证明了这个数量不能大幅改进。

下面我们来看一个具体的证明过程。设ℓ∈N+是使得策略Sv在两个连续输入上输出相同假设的最小数，即Sv(i, w) ≠ · · · ≠ Sv(iℓ, w) = Sv(iℓ+1, w)。这样的ℓ一定存在，否则Sv既不能有限识别ψ2i也不能有限识别ψ2i+1。
- 如果Sv(iℓ, w) ∉ {2i, 2i + 1}，那么就已经完成证明，因为ψ2i和ψ2i+1是U中唯一具有初始段且所有值都等于i的函数。