40、最小污染问题与低维汉明度量斯坦纳最小树问题解析

最小污染问题与低维汉明度量斯坦纳最小树问题解析

最小污染问题

最小污染问题在社会网络中的疫情和恐慌控制、网络中的病毒传播控制等不同领域有着广泛应用。下面我们深入探讨该问题的复杂度、可近似性以及相关算法。

问题定义与性质

在图论中，对于左图 $G \ E′$ 的连通分量，如果它是顶点集为 ${d_l, a_i, b_j, c_k}$ 且中心为 $d_l$ 的星型图，我们称其为恰当分量。对于任意 $g \in B \cup C$，顶点 $g′$ 和 $g′′$ 恰好有一个在某个恰当分量中。

如果最小平均污染问题实例 $I′$ 或最小最坏污染问题实例 $I′′$ 是肯定实例，那么对于 3 - DM2 实例 $I$ 存在完美匹配。通过简单的小工具归约，可以证明以下定理：
- 定理 2 ：即使在二分图上，无权最小平均污染问题和无权最小最坏污染问题都是 NP 难的。
- 定理 3 ：最小最坏污染问题即使在幂律图上也是 NP 难的，而对于树上的加权最小最坏污染问题，存在多项式时间算法。

近似算法

由于最小污染问题是 NP 难的，所以我们考虑其近似算法。Kimura 等人使用键渗流方法估计每条边删除的减少量，并通过实验表明贪心策略（选择目前使目标减少最多的边）在独立级联模型和线性阈值模型中效果良好。然而，我们发现贪心策略可能效果不佳。

• 定理 4 ：贪心策略是最小平均污染问题和最小最坏污染问题的 $\min{O(K), n}$ 近似算法。存在一些实例，使得贪心算法在