28、选择问题的时空权衡算法

选择问题的时空权衡算法

1. 基本引理与定理

在只读内存中处理选择问题时，有一些重要的引理和定理。
- 引理 8 ：给定只读内存中的一个包含 $n$ 个元素的列表，其中 $m$ 个为活跃元素。可以在 $O(m \lg m + n \lg m / \lg p)$ 时间内，使用 $O(p^2 \lg m / \lg p)$ 额外空间，找到列表中长度为 $2p - 2$ 的元素序列，使得每个桶中的元素数量最多为 $\lceil m / p \rceil$，其中 $p \geq 2$ 是一个整数参数。
- 证明思路 ：在引理 6 的证明中，只需将活跃元素与块的分割器进行比较。但在最坏情况下，需要进行 $2n$ 次比较（与过滤器）来识别活跃元素。时间和空间的递归关系满足 $T(m) = pT(m/p) + O(n + m \lg p)$，解得时间复杂度为 $O(n \lg m / \lg p + m \lg m)$；空间需求 $S(m)$ 满足 $S(m) = S(m/p) + O(p^2)$，解得空间复杂度为 $O(p^2 \lg m / \lg p)$。在找到列表的 $2p - 2$ 个分割器后，将所有活跃元素与分割器进行比较，确定递归的桶并适当修改过滤器。由于最多有 $\lceil n / p \rceil$ 个活跃元素，选择过程可以在 $O(\lg n / \lg p)$ 次迭代内完成。
- 定理 3 ：对于只读内存中的一个包含 $n$ 个元素的列表，可以使用 $O(n \lg n + n \lg^2 n / \lg^2 p)$ 时间和 $O(p^2 \lg n / \lg p)