19、算法与计算几何领域的前沿研究成果

算法与计算几何领域的前沿研究成果

在算法和计算几何领域，众多研究者致力于解决各类复杂问题，提出了一系列创新算法和理论成果。这些研究不仅在理论上具有重要意义，还在实际应用中展现出巨大价值。

动态距离函数下的设施选址问题

在动态距离函数的设施选址问题中，研究者针对不同情况提出了有效的算法。对于具有两个时间段的 K - 中心问题，为避免某个时间段内 δ 值过大，采用两个不同的 δ 值（δ1 和 δ2）分别处理每个时间段，通过使邻域定义依赖于时间段，保证每个时间段内的加权距离至多为 3δt。

当存在任意多个时间段且边长度的最大与最小长度之比受常数 β 限制时，提出了加权版本的算法。首先列出所有加权边长度并排序，构建阈值图。算法核心是固定距离阈值 δ，考虑有向图 Gtδ。若存在最优加权距离为 δ 的解，则存在 K 个顶点的最优子集 S∗ 构成每个图 Gtδ 的支配集。算法通过选择最重的未标记顶点，用至多两条边覆盖所有能覆盖它的未标记顶点，最终实现对每个顶点的覆盖，其近似比为 1 + β。

若顶点有成本且预算有限，算法先运行加权情况的算法得到中心集 S，再将 S 中的每个中心移到其有边相连的节点中成本最小的节点，得到中心集 S′，近似比为 1 + 2β。

Time-Invariant Bounded K-centers(G, δ).
1. S = ∅.
2. for 1 ≤ t ≤ T
3.     for all v
4.         markedt(v) = FALSE.
5.     while ∃v ∉ S, t ∈ [1, T] with markedt(v) = FAL