51、公钥加密方案与辅助输入及大域的Goldreich - Levin定理

公钥加密方案与辅助输入及大域的Goldreich - Levin定理

1. LWEn,m,q,β问题的难度证据

LWEn,m,q,β问题的难度证据来自Regev的研究成果。当β · q ≥2√n时，对于任意期望的m = poly(n)，存在从最坏情况下对n维格上某些问题进行近似（近似因子为O(n/β)）到求解LWEn,m,q,β的量子归约。近期，Peikert也针对类似参数给出了相关的经典归约。

2. 针对辅助输入的安全性

2.1 公钥加密方案的安全性定义

公钥加密方案Π = (Gen, Enc, Dec)，消息空间M = {Mn}n∈N，若对于任意概率多项式时间（PPT）敌手A = (A1, A2)、任意函数h ∈H、任意多项式p以及足够大的n ∈N，满足：
[Adv_{A,Π,h} \stackrel{def}{=} \left| Pr[CPA_0(Π, A, n, h) = 1] - Pr[CPA_1(Π, A, n, h) = 1] \right| < \frac{1}{p(n)}]
则称该公钥加密方案Π相对于来自H的辅助输入是选择明文攻击（CPA）安全的。其中CPAb(Π, A, n, h)是以下实验的输出：
1. (SK, PK) ← Gen(1n)
2. (M0, M1, state) ← A1(1n, PK, h(SK, PK))，使得|M0| = |M1|
3. cb ← Enc(PK, Mb)
4. 输出A2(cb, state)

2.2 辅助输入函数的类别

为了研究公钥加密方案的安全性，我们定义了两类辅助输入函数，这些函数