素数

1. 根据概念判断:

如果一个正整数只有两个因子, 1和p，则称p为素数.

代码:

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;

    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(n%i == 0) return false;

    return true;
}

时间复杂度O(n).


2. 改进, 去掉偶数的判断（素数都是奇数）

代码:

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;

    for(int i = 3; i < n; i += 2)
        if(n%i == 0) return false;

    return true;
}

时间复杂度O(n/2), 速度提高一倍.


3. 进一步减少判断的范围（素数都是成对出现）

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个因子d.
证明: 如果n不是素数, 则由定义n有一个因子d满足1<d<n.
如果d大于sqrt(n), 则n/d是满足1<n/d<=sqrt(n)的一个因子.

代码:

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;

    for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)
        if(n%i == 0) return false;

    return true;
}

时间复杂度O(sqrt(n)/2), 速度提高O((n-sqrt(n))/2).


4. 剔除因子中的重复判断.（只要尝试小于√x 的质数即可）

比如要判断101是否质数，101的根号取整后是10，那么，按照境界4，需要尝试的奇数分别是：3，5，7，9。

但是你发现没有，对9的尝试是多余的。不能被3整除，必然不能被9整除，如果能被9整除，已经被前面一个因子整除。

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个"素数"因子d.
证明: I1. 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个因子d.
I2. 如果d是素数, 则定理得证, 算法终止.

I3. 令n=d, 并转到步骤I1.

由于不可能无限分解n的因子, 因此上述证明的算法最终会停止.

代码:

// primes[i]是递增的素数序列: 2, 3, 5, 7, ...
// 更准确地说primes[i]序列包含1->sqrt(n)范围内的所有素数

bool isPrime(int primes[], int n)
{
    if(n < 2) return false;

    for(int i = 0; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)
        if(n%primes[i] == 0) return false;

    return true;
}

5. 构造素数序列primes[i]: 2, 3, 5, 7, ...

由4的算法我们知道, 在素数序列已经被构造的情况下, 判断n是否为素数效率很高;

但是, 在构造素数序列本身的时候, 是否也可是达到最好的效率呢?

事实上这是可以的! -- 我们在构造的时候完全可以利用已经被构造的素数序列!

假设我们已经我素数序列: p1, p2, .. pn

现在要判断pn+1是否是素数, 则需要(1, sqrt(pn+1)]范围内的所有素数序列,

而这个素数序列显然已经作为p1, p2, .. pn的一个子集被包含了!

代码:

// 构造素数序列primes[]  获得0-num所有的素数

void makePrimes(int primes[], int num)
{
    int i, j, cnt;
    
    primes[0] = 2;
    primes[1] = 3;
    
    for(i = 5, cnt = 2; cnt < num; i += 2)
    {
        int flag = true;
        for(j = 1; primes[j]*primes[j] <= i; ++j)        //判断I是否是素数
        {
            if(i%primes[j] == 0)
            {
                flag = false; break;
            }
        }
        if(flag) primes[cnt++] = i;
    }
}

makePrimes的时间复杂度比较复杂, 而且它只有在初始化的时候才被调用一次.

在一定的应用范围内, 我们可以把近似认为makePrimes需要常数时间.

6.将整数num进行质因数分解，例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int n,i;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        while(n%2==0)
  <span style="white-space:pre">	</span> {
               n/=2; 
<span style="white-space:pre">		</span>printf("%d ",2);
  <span style="white-space:pre">	</span> }
<span style="white-space:pre">	</span>for(i=3;i<=sqrt(n);i+=2)
            while(n%i==0)  {
               n/=i; 
<span style="white-space:pre">	</span>printf("%d ",i);
   <span style="white-space:pre">	</span>}
        printf("%d/n",n);
    }
    return 0;
}