大毛数蚂蚁(法里数列、二分搜索)

大毛数蚂蚁

题干

大毛家的后花园有两个蚂蚁王国：A国和B国。现在两个王国即将开战，大毛前去观战。大毛以非人的动态视力分别数出了两个王国的蚂蚁士兵数量，记为a和b。定义双方的实力对比为a:b。大毛虽然得到了双方蚂蚁士兵的精确数量，但由于a和b数值太大，难以一眼看出它们的关系。大毛正想着怎么把蚂蚁塞进饲养员的被窝里，并没有心思去理解这么复杂的比例。因此大毛希望你能用两个不超过L的数字a’和b’代替a和b，使得大毛能够一下就理解双方大致的实力情况。例如，当双方实力为1498:902，且L为10时，你只需要告诉大毛双方大致实力比例为5:3，大毛就能很快地理解，从而有更多的时间去制定将蚂蚁塞进饲养员被窝的计划。

现在大毛将a、b和L的值告诉你，请你得出两个整数a’和b’，使得a’/b’≥a/b，且|a’/b’-a/b|尽可能小。其中a’和b’均不大于L，且a’和 b’互质(即两个整数的最大公约数是 1)。

输入

首先输入一个整数t（t <= 100000）

接下来的t行，每一行输入三个整数a, b, L（1<=a,b<=2e9, 1<=L<=100000）

数据保证a/b<=L。

输出

对于每组数据，输出一行数字，每一行包含两个整数a’, b’，中间用一个空格隔开。

样例

input:

1
1498 902 10

output:

5 3

分析

此题是自Noip2014年普及组第二题改编而来，原题数据范围很小，穷举即可算出结果，此题被魔改之后，就变得稍微复杂一些。标程是先确定一个范围，然后二分法(分数的二分利用法里数列的公式，分子相加分母相加)，求出最后数值。

上代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

typedef long long ll;

struct F {
    ll up, down;

    F(ll u = 1, ll d = 1) : up(u), down(d) {};

    F operator+(F r) {
        return {up + r.up, down + r.down};
    }

    F operator+(ll a) {
        return {up + a * down, down};
    }

    bool operator<(F r) {
        return (up * r.down < r.up * down);
    }

    bool check(ll l) {
        return (up < l) && (down < l);
    }
};

ll gcd(ll a, ll b) {
    return (!b) ? a : gcd(b, a % b);
}

using namespace std;

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        ll a, b, L;
        scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &L);
        
        // 先化简，且此一步已经考虑了a/b(精确值)恰好等于L的情况了，非常巧妙
        ll m = gcd(a, b);
        a /= m;
        b /= m;
        if (a <= L && b <= L) {
            printf("%lld %lld\n", a, b);
            continue;
        }

        // 确定范围
        ll com = a / b;
        F ini(a, b);
        F l(0, 1), r(1, 1);
        l = l + com;
        r = r + com;
        
        // 迭代逼近
        while (1) {
            F mid = l + r;
            if (!mid.check(L)) {
                break;
            }
            if (mid < ini) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid;
            }
        }
        printf("%lld %lld\n", r.up, r.down);
    }
    return 0;
}

怎么说呢，这个代码写得非常的巧妙。。非常巧妙。。。我直接暴力搜索，超时五十多倍，这个采用二分的话，十万组数据只用了一百多毫秒。

思路再具体下是这样的

首先确定一个小范围，a/b(精确值)的范围，自然在0+a/b(截断值)和1+a/b(之间)，也就是先确定了整数部分，再逼近小数部分。然后经过打表发现(其实是我无法给出数学证明)，采用构造法里数列的方式进行二分，最后的结果一定是分子分母互质的。然后二分的跳出条件也有深意，观察到mid不满足条件时，l r两者之间一定有一个就是最终答案，而r仅在mid>ini的时候更新，故在mid满足条件时，r即最优解，同理，如果输出小于ini的，则输出l，若仅求最接近的值，则取l r 中最接近ini的即可，非常灵活。

感谢 @SKT Faker 老哥给我的思路，以下是老哥对此构造的数列一定不可约分的简单证明