算法题计数质数-优快云博客

204. 计数质数

问题描述

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例：

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

算法思路

埃拉托斯特尼筛法：

创建布尔数组 isPrime 标记每个数是否为质数（初始全为 true）
标记 0 和 1 为非质数
从 2 开始遍历到 $n\sqrt{n}$ ：
- 若当前数 i 是质数，则将其所有倍数标记为非质数
统计数组中值为 true 的元素数量

优化：

从 $i^2$ 开始标记（更小的倍数已被标记）
步长取 i（跳过已标记的合数）
外层循环只需遍历到 $n\sqrt{n}$

代码实现

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0; // 小于2时无质数
        
        boolean[] isPrime = new boolean[n];
        // 初始化数组（除0和1外全标记为质数）
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            isPrime[i] = true;
        }
        
        // 埃氏筛核心：标记合数
        for (int i = 2; i * i < n; i++) { // 只需遍历到 sqrt(n)
            if (isPrime[i]) {
                // 从 i*i 开始，以 i 为步长标记合数
                for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        // 统计质数数量
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) count++;
        }
        return count;
    }
}

算法分析

时间复杂度： $\log \log n)$
内层循环标记次数为 $n2+n3+n5+⋯\frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \frac{n}{5} + \cdots$ ，数学证明为 $\log \log n)$
空间复杂度： $O (n)$
需要长度为 n 的布尔数组

算法过程

n=20 ：

初始化数组：

[0:false, 1:false, 2:true, 3:true, ..., 19:true]

标记过程：
- i=2（质数）：标记 4,6,8,10,12,14,16,18
- i=3（质数）：标记 9,15（15>3²=9）
- i=4（合数，跳过）
- i=5（5²=25>20，终止循环）
剩余质数：
```
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 共8个
```

测试用例

public static void main(String[] args) {
    Solution solution = new Solution();
    
    // 测试用例1：n=10
    System.out.println("n=10: " + solution.countPrimes(10)); // 4
    
    // 测试用例2：n=2（边界值）
    System.out.println("n=2: " + solution.countPrimes(2)); // 0
    
    // 测试用例3：n=1
    System.out.println("n=1: " + solution.countPrimes(1)); // 0
    
    // 测试用例4：n=100
    System.out.println("n=100: " + solution.countPrimes(100)); // 25
    
    // 测试用例5：n=10000
    System.out.println("n=10000: " + solution.countPrimes(10000)); // 1229
    
    // 测试用例6：n=0
    System.out.println("n=0: " + solution.countPrimes(0)); // 0
}

关键点

从 $i^2$ 开始标记：
对于质数 i，比 $i^2$ 小的倍数（如 $\times 2$ 、 $\times 3$ ）已被更小的质数标记过。
遍历到 $n\sqrt{n}$ 终止：
若 n 有大于 $n\sqrt{n}$ 的因子，必存在小于 $n\sqrt{n}$ 的对应因子。
布尔数组优化：
使用 boolean[] 而非 BitSet，在数据规模中等时效率更高。

常见问题

为什么外层循环到 $n\sqrt{n}$ ？
若存在大于 $n\sqrt{n}$ 的因子 d 使 n = d × k，则 k 必小于 $n\sqrt{n}$ ，因此该合数已被标记。
如何处理大整数？
当 n 接近 $10^6$ 时，埃氏筛仍可在毫秒级完成（时间复杂度 $\log \log n)$ ）。
能否进一步优化空间？
可使用 BitSet 减少内存占用（约节省 8 倍空间），但访问速度略慢于布尔数组。