bzoj4827[Hnoi2017]礼物 (FFT，生成函数)

Description
我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一
个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突
然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有
装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，
但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差
异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，
其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物
亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)2麻烦你帮他
计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？
Input
输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。
接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m
Output
输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。
Sample Input
5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5
Sample Output
1
【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第
二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为
：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

---

$solution$:
比较简单的一道题
没有改变亮度就是$sb$题
考虑加上这个亮度
$$(x+c-y{)}^2=x^2+c^2+2xc+y^2-2xy-2yc$$
$$=x^2+y^2-2xy+c^2+2c(x-y)$$
很显然我们可以把两个放到生成函数中，把第二个手环倍长+翻转，考虑怎么算答案
我们显然是要上面某个对应位置上面的值最小

显然$x^2+y^2$可以不用考虑，这个式子的和是恒定的

带$c$的项很棘手，我们从二次函数的角度考虑，假如我把$c$留着，得到式子后我们显然可以通过二次函数可以找到最优的$c$的取值

观察可以发现不论是怎么安排第二个手环的位置，都有$a=n,b=\sum (x-y)$
也就是说$c$的取值是确定的

那么式子中不确定的只有$-2xy$了
我们只要让它最小就行了。
直接卷积
复杂度$O(nlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for(int i = j;i <= k;++i)
#define repp(i,j,k) for(int i = j;i >= k;--i)
#define rept(i,x) for(int i = linkk[x];i;i = e[i].n)
#define P pair<int,int>
#define Pil pair<int,ll>
#define Pli pair<ll,int>
#define Pll pair<ll,ll>
#define pb push_back 
#define pc putchar
#define mp make_pair
#define file(k) memset(k,0,sizeof(k))
#define ll long long
int rd()
{
	int num = 0;char c = getchar();bool flag = true;
	while(c < '0'||c > '9') {if(c == '-') flag = false;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') num = num*10+c-48,c = getchar();
	if(flag) return num;else return -num;
}
int r[401000],n,m;
struct comp{
	double x,y;
	comp(double x_=0,double y_=0) {x=x_;y=y_;}
	inline comp operator + (const comp& a){return comp(x+a.x,y+a.y);}
	inline comp operator - (const comp& a){return comp(x-a.x,y-a.y);}
	inline comp operator * (const comp& a){return comp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
}a[401000],b[401000],w[401000];
const double pi = acos(-1.0);
int fft(comp *a,int flen,int f)
{
	w[0] = comp(1,0);
	rep(i,0,flen-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for(int len=2;len<=flen;len<<=1)
	{
		comp wn = comp( cos(pi*2/len) , 1.0*f*sin(pi*2/len) );
		rep(i,1,len/2) w[i] = w[i-1]*wn;
		for(int st=0;st<flen;st+=len)
			rep(i,0,len/2-1)
			{
				comp x = a[st+i],y = a[st+len/2+i]*w[i];
				a[st+i] = x+y;
				a[st+len/2+i] = x-y;
			}
    }
}
int c[401000],ans,sigma,tp;
inline int sqr(int x){return x*x;}
int main()
{
	n = rd();m = rd();
	rep(i,0,n-1) a[i].x = (double)rd(),ans += sqr((int)a[i].x),sigma -= (int)a[i].x;
	rep(i,0,n-1) b[i].x = (double)rd(),ans += sqr((int)b[i].x),sigma += (int)b[i].x;
	reverse(b,b+n);
	rep(i,0,n-1) b[i+n] = b[i];
	int flen = 1;
	while(flen < 3*n-1) flen *= 2;
	rep(i,n,flen-1) a[i] = comp(0,0);
	rep(i,2*n,flen-1) b[i] = comp(0,0);
	rep(i,0,flen-1) r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)?flen/2:0); 
	fft(a,flen,1);fft(b,flen,1);
	rep(i,0,flen-1) a[i] = a[i] * b[i];
	fft(a,flen,-1);
	rep(i,0,flen-1) c[i] = (int)(a[i].x/flen+0.5);
	int mx = 0;
	rep(i,n-1,2*n-2) mx = max(mx,2*c[i]);
	mx = -mx; ans += mx;
	double bz = 1.0*sigma/n;
	if(abs(bz)>=m) tp = bz>0?m:-m;
	else
	{
		tp = (int)bz;
		int det1 = tp*tp*n-2*tp*sigma;
		tp++;
		if(tp*tp*n-2*tp*sigma > det1) tp--;
	}
	ans += tp*tp*n-2*tp*sigma;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}