最小生成树算法

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#prim #算法 #最小生成树

1.最小生成树的概念

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的 最小生成树。

最小生成树其实是 最小权重生成树的简称。

性质[编辑]

最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。
最小生成树不可以有循环。
最小生成树不必是唯一的。

算法[编辑]

Prim算法与Kruskal算法是寻找最小生成树的经典方法，两者皆为贪心法，通常使用二元堆积，时间复杂度为 $O(E\lg V)$ 。若使用斐波那契堆，Prim算法可加速至 $O(E + V\lg V)$ 。

安全边[编辑]

Prim算法与Kruskal算法使用贪心法时有着相似的思维：一次“生成”一条“安全边”，如下所示：

GENERIC-MST-FUNCTION (G,w)
1    T := 空集合
2    while T 还不是生成树
3        do 找出对 T 来说是不會形成cycle，且權重最低的边 (u, v)
4            T := T U {(u, v)}
5    return T

———————————————————— （维基）

2.代码模板

#define infinity 1000000
#define max_vertexes 5 

typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];

void prim(Graph G,int vcount,int father[])
{
    int i,j,k;
    int lowcost[max_vertexes],closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
    for (i=0;i<vcount;i++)
        {
        lowcost[i]=G[0][i];
        closeset[i]=0; 
        used[i]=0;
        father[i]=-1; 
        }
    used[0]=1; 
    for (i=1;i<vcount;i++)
        {
        j=0;
        while (used[j]) j++;
        for (k=0;k<vcount;k++)
            if ((!used[k])&&(lowcost[k]<lowcost[j])) j=k;
        father[j]=closeset[j]; 
        used[j]=1;
        for (k=0;k<vcount;k++)
            if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
                { lowcost[k]=G[j][k];
                closeset[k]=j; }
        }
}