鸡兔同笼B

鸡兔同笼B
一个笼子里面关了若干只鸡和兔子(鸡有2只脚,兔子有4只脚,没有例外),已经知道了笼子里面脚的总数feet,则笼子里至少有多少只动物,至多有多少只动物?

n = int(input())
for i in range(n):
    feet_count = int(input())
    if feet_count % 2 == 0:
        max_num = feet_count / 2
    else:
        max_num = 0
    if feet_count % 4 == 0:
        min_num = feet_count / 4
    else:
        if feet_count % 4 == 2:
            min_num = feet_count / 4 + 1
        else:
            min_num = 0
    print(int(min_num), int(max_num))

<think>好的,我现在需要帮助用户解决关于鸡兔同笼问题的矩阵解法。首先,我得回忆一下鸡兔同笼问题的基本描述。根据用户提供的引用[1],这是《孙子算经》中的经典问题,通常涉及头的数量,要求解兔子的数量。用户提到想用矩阵方法来解决,所以我要先回顾线性代数中如何用矩阵表示方程组。 接下来,我得确认用户的问题是否需要具体的步骤示例。他们可能希望看到矩阵形式如何建立,以及如何通过矩阵运算求解。根据引用[3],矩阵理论在解决问题中的应用可能涉及线性方程组,所以这里应该将问题转化为矩阵方程。 首先,鸡兔同笼的标准问题可以表示为二元一次方程组。例如,头数总为H,数总为F,设为x只,兔子为y只,那么方程组是: x + y = H 2x + 4y = F 接下来,我需要将这个方程组写成矩阵形式AX = B,其中A是系数矩阵,X是变量向量,B是常数向量。根据线性代数知识,系数矩阵A应该是[[1,1],[2,4]],X是[[x],[y]],B是[[H],[F]]。然后,解这个方程组可以通过求逆矩阵或者使用克莱姆法则等方法。 用户可能需要具体的矩阵运算步骤,比如如何计算逆矩阵,或者如何应用克莱姆法则。例如,对于克莱姆法则,需要计算系数矩阵的行列式,以及替换列后的行列式。这里行列式的计算是关键,如果行列式不为零,说明有唯一解。 另外,考虑到用户提供的引用[2]中提到了通过循环尝试不同的组合来解决问题,而矩阵解法则是一种更系统的方法,避免了猜测。这可能也是用户想了解的,即如何用矩阵代替循环迭代的方法。 然后,我需要给出一个具体的例子,比如《孙子算经》中的经典例子,头数35,数94,代入矩阵方程中求解。需要展示如何构建矩阵,如何计算逆矩阵,以及如何得到xy的值。同时,需要验证解的正确性,确保代入后符合原方程。 可能还需要注意矩阵的可逆性,如果行列式为零,说明方程组无解或有无穷解,但在这个问题中,由于头的数量是合理的,应该存在唯一解,所以行列式不为零。 最后,用户可能希望了解矩阵解法的优势,比如在处理大规模问题时的效率,或者如何扩展到更多变量的情况。这部分可以作为补充说明,增强回答的实用性。 总结一下,回答的结构应该是:问题描述→转化为方程组→矩阵表示→求解步骤→具体示例→验证→扩展应用。同时,引用相关的参考资料,如引用[1][3],来支持矩阵解法的正确性应用背景。</think>### 鸡兔同笼问题的矩阵解法 #### 问题描述 《孙子算经》中鸡兔同笼问题可表述为:已知兔的总头数为$H$,总数为$F$,求兔的数量。设为$x$只,兔为$y$只,则方程组为: $$ \begin{cases} x + y = H \\ 2x + 4y = F \end{cases} $$ #### 矩阵表示 将方程组改写为矩阵形式$A\mathbf{X} = B$: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} H \\ F \end{bmatrix} $$ #### 求解步骤 1. **求系数矩阵的行列式**: $$ \det(A) = (1 \times 4) - (1 \times 2) = 2 $$ 行列式不为零,说明矩阵可逆,存在唯一解。 2. **使用逆矩阵法**: 解为$\mathbf{X} = A^{-1}B$,其中逆矩阵: $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} $$ 最终解: $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} H \\ F \end{bmatrix} $$ 3. **展开计算**: $$ x = 2H - 0.5F \\ y = -H + 0.5F $$ #### 示例(《孙子算经》经典问题) 已知$H=35$,$F=94$: 1. 代入公式: $$ x = 2 \times 35 - 0.5 \times 94 = 70 - 47 = 23 \\ y = -35 + 0.5 \times 94 = -35 + 47 = 12 $$ 2. **验证**: - 头数:$23 + 12 = 35$ ✓ - 数:$2 \times 23 + 4 \times 12 = 46 + 48 = 94$ ✓ #### 矩阵解法的优势 1. **系统性**:避免传统「猜测法」的随机性[^2],直接通过代数运算求解。 2. **扩展性**:可推广到更高维线性系统,例如三动物问题(增加腿数差异)[^3]。 --- ###
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