Codeforces ~ 1006C ~ Three Parts of the Array(前缀和 + 二分)

本文介绍了一个算法问题:如何将一个数组划分为三部分,使首尾两部分的和相等并最大化该和值。通过计算前缀和与后缀和,并进行匹配来找到最优解。

题意

将一个长度为n的数组划分为a,b,c三段(每一段都可以为空),使得a段和c段的和相等,问a段的和的最大值是多少?


思路

求前缀和,后缀和。然后从大到小枚举后缀,在前缀中查找相等,如果能找到且a,c两段不重叠,那么就是答案。注意开long long

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5+5;
typedef long long LL;
int n, d[MAXN];
LL pre[MAXN], suf[MAXN];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &d[i]);
    pre[0] = d[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) pre[i] = d[i] + pre[i-1];
    suf[n-1] = d[n-1];
    for (int i = n-2; i >= 0; i--) suf[i] = d[i] + suf[i+1];
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int pos = lower_bound(pre, pre+n, suf[i])-pre;
        if (pos < i && pre[pos] == suf[i])
        {
            ans = max(ans, suf[i]);
            break;
        }
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}
/*
5
1 3 1 1 4
*/
### Codeforces 中二维前缀和的应用 在解决涉及矩阵区域查询的问题时,二维前缀和是一种非常有效的工具。通过预先计算部分和,可以在常数时间内快速获取任意子矩形内的元素总和。 #### 什么是二维前缀和? 对于一个大小为 \( m \times n \) 的矩阵 `A`,定义其对应的前缀和矩阵 `sum` 如下: \[ sum[i][j] = A[0...i-1][0...j-1] \] 即 `sum[i][j]` 表示从原点 `(0, 0)` 到位置 `(i-1, j-1)` 所构成的矩形区域内所有元素之和[^2]。 为了方便处理边界情况,通常会将索引偏移一位,在实际编程中使用 `sum[i+1][j+1]` 来表示上述范围内的累加值。 #### 计算方法 构建前缀和的过程可以通过双重循环完成,时间复杂度为 O(mn),其中 m 和 n 分别代表矩阵的高度和宽度。核心代码如下所示: ```cpp for(int i = 1; i <= h; ++i){ for(int j = 1; j <= w; ++j){ // 当前格子加上左边、上面以及左上的三个方向已经累积的结果 sum[i][j] = A[i-1][j-1] + sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]; } } ``` 这里需要注意减去重复计算的部分 `- sum[i-1][j-1]`,因为这部分被前面两次相加操作多算了。 #### 查询指定矩形区域的和 假设要查询以坐标 `(x1,y1)` 作为左上角顶点,`(x2,y2)` 作为右下角顶点所围成的小矩形内部数值总和,则可以按照下面的方式进行计算: \[ query(x_1, y_1, x_2, y_2)=sum[x_2][y_2]-sum[x_1-1][y_2]-sum[x_2][y_1-1]+sum[x_1-1][y_1-1]\] 这同样遵循了容斥原理来排除重叠部分的影响。 #### 实际应用案例 考虑这样一个题目:“在一个整数矩阵中找到满足特定条件的最大/最小面积”。这类问题往往需要频繁地对不同尺寸的子矩形做求和运算,而借助于预处理好的前缀和表就可以大大简化这些操作并提高效率。 例如,在某些情况下可能还需要结合其他数据结构如线段树或者二分查找来进行更复杂的优化;而在另一些场景里则可以直接利用简单的四边形不等式性质加速搜索过程。
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