CodeForces ~ 987F ~ AND Graph （位运算 + DFS）

最新推荐文章于 2020-11-05 21:51:08 发布

张松超

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分类专栏：【递归/搜索】

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本文介绍了一种解决特定二进制数匹配问题的高效算法。通过将问题转化为二进制子集查找，利用递归深度优先搜索(DFS)策略来遍历所有可能的子集组合，并检查这些子集是否存在于输入数组中。该算法巧妙地利用了位运算的特性，如异或(XOR)和按位与(AND)，以实现快速匹配。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给n，m以及m个数字a[i]。 $0 \leqslant n \leqslant 22，0\leqslant m,a[i]\leqslant2^n$ 。

思路：如果我们暴力搜索m个数的话，明显会超时，所以我们考虑，如果 $x\&y=0$ ，那么二进制下，假设 $x$ 为10101，那么 $y$ 就为01010（ $x$ 对应位取反）的一个”子集”，此处子集意为 $y$ 中的某些1变为0，比如此时y的子集有(01010，01000，00001，00000)。
所以对于y我们找到它所有的子集，如果某个 $y$ 的子集 $u$ 在a数组中,那么我们就可以把 $u$ 看作新的 $x$ 再进行这种操作。
怎么找y的所有子集呢，我们一个1一个1的消去即可，DFS每层消一个1。
对于一个x怎么找到y呢，我们让x ^ ((1<<n) - 1)) 即可。
对于y怎么找到某一个1并将其消去呢，y&(1<<i)可以判断出来第i位是否为1，y^(1<<i)可以使得第i位的1变为0，其他位置不变。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = (1<<22)+5;
int n, m, a[MAXN], A;
bool vis[MAXN], have[MAXN];
void dfs(int u)
{
    vis[u] = true;
    if (!vis[u^A] && have[u])
    {
        dfs(u^A);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (u&(1<<i))
        {
            int v = u^(1<<i);
            if (!vis[v]) dfs(v);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        have[a[i]] = true;
    }
    A = (1<<n)-1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        if (!vis[a[i]])
        {
            cnt++;
            dfs(a[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}