数学建模备赛Day2

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#数学建模 #算法

一、线性规划问题

1、线性规划模型及概念

1.1 建立线性规划模型的一般步骤

step1 分析问题，找出决策变量（是问题中要确定的未知量，用于表明规划问题中用数量表示的方案、措施等，可由决策者决定和控制）
step2 根据问题所给条件，找出决策变量必须满足的一组线性等式或者不等式约束，即约束条件。
step3 根据问题的目标，构造关于决策变量的一个线性函数，即为目标函数。

1.2 线性规划模型的形式

1.3 灵敏度分析

灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。

在线性规划问题中，都设定 $a_{ij},b_{i},c_{j}$ 是常数，但在许多实际问题中，这些系数往往是估计值或者预测值，当这些参数中的一个或者几个发生变化时，现行最优方案会有什么变化？以及当这些参数的变化限制在什么范围内，原最优解仍是最优的？优化后分析，可以进行灵敏度分析。（具体参见运筹学教科书）

在实际应用中，可以采用数值方法。给定参变量一个步长，使其重复求解线性规划问题，以观察最优解的变化情况。

对于数学规划模型，一定要做灵敏度分析。

2、线性规划模型求解及应用

对一般的线性规划模型，常用的求解方法有图解法、单纯形法等。

MATLAB求解数学规划问题（包括线性规划、整数规划和非线性规划）采用两种模式：

基于求解器的求解方法和基于问题的求解方法。

2.1 线性规划的MATLAB求解

（1）MATLAB基于求解器的求解方法

MATLAB基于求解器的求解方法规定的线性规划的标准形式为

$\min_{x} f^{T}x,$

$s.t. \left\{\begin{matrix} A \cdot x \leq b \\ Aeq \cdot x =beq \\ lb \leq x \leq ub \\ \end{matrix}\right.$

式子中： $f,x,b,beq,lb,ub$ 为列向量，其中 $f$ 为价值向量， $b$ 为资源向量； $A,Aeq$ 分别为不等式约束和等式约束对应的矩阵。

MATLAB中的调用格式为

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x返回决策向量的取值，fval返回目标函数的最优值。

示例

%基于求解器求解的matlab程序
clc,clear
f=[-2,-3,5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];beq=7;
lb=zeros(3,1);ub=[+inf,+inf,+inf];
[x,fval]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub);

（2）MATLAB基于问题的求解方法

首先需要用变量和表达式构造优化问题，再用solve函数求解。

%基于问题求解的matlab程序
clc,clear
prob=optimproblem('ObjectiveSense','max'); %默认目标函数最小化
x=optimvar('x',3,'LowerBound',0);
prob.Objective=2*x(1)+3*x(2)-5*x(3);
prob.Constraints.con1=x(1)+x(2)+x(3)==7;
prob.Constraints.con2=2*x(1)-5*x(2)+x(3)>=10;
prob.Constraints.con3=x(1)+3*x(2)+x(3)<=12;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob),sol.x

2.2 可以转换为线性规划的问题

（1）带有绝对值的非线性规划问题，尽量先手工进行线性化，再用软件求解。

原理详情见《数学建模算法与应用第三版》（司守奎，孙玺菁）

示例

%基于问题求解的matlab程序
%%这是带有绝对值的非线性规划问题
clc,clear
c=[1:4]'; %注意是列向量
a=[1,-1,-1,1;1,-1,1,-1;1,-1,-2,3];b=[-2,-1,-1/2]';
prob=optimproblem('ObjectiveSense','min'); %默认目标函数最小化，即prob=optimproblem;
u=optimvar('u',4,'LowerBound',0);
v=optimvar('v',4,'LowerBound',0);
prob.Objective=sum(c'*(u+v));
prob.Constraints.con=a*(u-v)<=b;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob);
x=sol.u-sol.v;

（2） $min_{x_{i}} \left \{ max_{y_{i}}\left |\varepsilon _{i} \right |\right \}, \left |\varepsilon _{i} \right |=x_{i}-y_{i}$ ，这类问题只需要取 $v=max_{y_{i}}\left | \varepsilon _{i} \right |$

问题就变换为

$\min v,$

$s.t.\left\{\begin{matrix} x_{1}-y_{1}\leq v,x_{2}-y_{2}\leq v,\cdots ,x_{n}-y_{n}\leq v \\ y_{1}-x_{1}\leq v,y_{2}-x_{2}\leq v,\cdots ,y_{n}-x_{n}\leq v \\ \end{matrix}\right.$