0-1背包

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

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#动态规划

这篇博客介绍了如何使用动态规划解决经典的0-1背包问题。通过两种不同的方法，一是传统的二维动态规划，二是优化后的动态规划，来求解在背包容量限制下能获得的最大价值。代码示例分别展示了这两种方法的实现，帮助读者理解动态规划在解决这类问题中的应用。

0-1背包

一、问题类型

题目描述

有一个最多能装m千克的背包，有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn，它们的价值分别是C1，C2，…，Cn。若每种物品只有一件，问能装入的最大总价值。

输入格式

第一行为两个整数m和n，以下n行中，每行两个整数Wi,Ci，分别代表第i件物品的重量和价值。

输出格式

输出一个整数，即最大价值。

二、分析

方法1

阶段：

前i件物品装在容量为j的背包中所能装入的最大总价值；

划分：

dp[i][j]:前i件物品装在容量为j的背包中所能装入的最大总价值；

边界值：

dp[i][0] = 0, dp[0][j] = 0

转移：

比较取与不取当前数的价值；
状态转移方程：
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i- 1][j](j < w[i]) \\ max\{dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]\} \end{aligned} \right.$

方法2

思路：

由于二维做法中，第一维只用到了i - 1，所以可以把其优化掉。

阶段：

容量为j的背包装下物品的价值的最大值；

划分：

dp[j]:容量为j的背包装下物品的价值的最大值；

转移：

在计算dp[j]时，需要用到dp[j - w[i]]，如果从小到大枚举，则前面的值为更新后的，所以因从大到小枚举；
比较取与不取当前数的价值；
状态转移方程：
$ dp[j] = \max {dp[j], dp[j - w[i]] + c[i] } $

三、代码

方法1：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, v, w[20], c[20], dp[20][35];
int main() {
	scanf("%d %d", &v, &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d", &w[i], &c[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= v; j++) {
			dp[i][0] = 0, dp[0][j] = 0;
			if (j < w[i]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			} else {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d", dp[n][v]);
	return 0;
}

方法2：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, v, w[20], c[20], dp[35];
int main() {
	scanf("%d %d", &v, &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d", &w[i], &c[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = v; j >= w[i]; j--) {
			if (j < w[i]) {
				dp[j] = dp[j];
			} else {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + c[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d", dp[v]);
	return 0;
}