HDU 2563 统计问题（递推思维）

最新推荐文章于 2021-03-05 21:35:52 发布

unhurried_swordsman

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分类专栏： HDU 递推文章标签：递推思维 HDU 程序设计竞赛 CC++

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探讨在一个假定条件下的无限二维平面上，从起点出发走n步的不同路径数量问题。通过递推公式F(n)=2*F(n-1)+F(n-2)计算路径总数，并提供完整的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题

统计问题

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

在一无限大的二维平面中，我们做如下假设：
1、每次只能移动一格；
2、不能向后走（假设你的目的地是“向上”，那么你可以向左走，可以向右走，也可以向上走，但是不可以向下走）；
3、走过的格子立即塌陷无法再走第二次；

求走n步不同的方案数（2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案）。

Input

首先给出一个正整数C，表示有C组测试数据
接下来的C行，每行包含一个整数n (n<=20)，表示要走n步。

Output

请编程输出走n步的不同方案总数；
每组的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

3
7

涉及知识及算法

递推

设第n步的走法共有F(n)种，设走法为向上的有a(n)种，往左或往右走法为b(n)种，则有F(n)=a(n)+b(n)。
接下来找前一个状态：

a(n):

无论怎么走，第n-1步走完后第n步总能向上走，故 a(n)=F(n-1) ;

b(n):

而第n步并不能随意的向左或向右。

当第n-1步的水平方向上没有走过，则第n步有左右两个方向可以走。而第n-1步的这个状态（第n-1步的水平方向上没有走过）即为a(n-1)，故此时第n步有2*a(n-1)种的走法。

当第n-1步的水平方向上走过，那么第n步就只有一种走法，只能跟着往左或往右。而第n-1步的状态即为b(n-1)，故此时第n步的走法有b(n-1)种走法。

所以b(n)=2*a(n-1)+b(n-1)。

化简一下F(n)=a(n)+b(n)=F(n-1)+2*a(n-1)+b(n-1)=F(n-1)+(a(n-1)+b(n-1))+a(n-1)=F(n-1)+F(n-1)+F(n-2)=2*F(n-1)+F(n-2)

核心的递推公式：F(n)=2*F(n-1)+F(n-2);

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[21];
void init()
{
    a[1]=3;
    a[2]=7;
    for(int i=3;i<=20;i++)
    {
        a[i]=2*a[i-1]+a[i-2];
    }
}

int main()
{
    int s,n;
    init();
    scanf("%d",&s);
    while(s--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}