逻辑回归(Logistic Regression) 总结-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Zero_HeiYuFeng/article/details/88046728

本文总结了逻辑回归的基本概念，包括逻辑回归的假设函数hθ(x)，如何用最大似然估计求解参数，并介绍了使用梯度下降法优化模型的过程。通过逻辑回归，模型不仅输出分类，而是给出一个概率值，这使得其在二分类问题中独具特色。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本文是我在学习了逻辑回归课程之后的总结，文中所阐述的内容仅仅是我个人的理解，如有错误或疏漏，欢迎大家批评指正。

1.逻辑回归的假设函数

在分类问题中，二分类问题有着很重要的地位，例如在判断某人是否得某种病，或者某封邮件是否为垃圾邮件等等的场景中都会用到。考虑二分类问题，对于任意输入，输出结果应该只有两种情况，即 $0,1}\left\{ 0, 1 \right\}$ ，我们要找的假设函数 $h (x)$ 需要符合这个标准，由此引入 logistic function:
$\frac{1}{1+e^{-z}}$
他的函数图像:
图像是一条形如“S”的曲线
假设函数可以写为:
$hθ(x)=11+e−θTxh_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$

让我们来理解一下，假设函数输出的是一个 (0, 1) 之间的数，可以把这个数看作是 $y$ 为 1 的可能性，如果假设函数的输出为 $0.9$ ，可以认为这一组样本的输出结果为 1 的概率就比较大。由此可以写出下面的式子
$P(y=1∣x;θ)=hθ(x)=g(θTx)P(y=1|x;\theta)=h_{\theta}(x)=g(\theta^{T}x)$
$P(y=0∣x;θ)=1−P(y=1∣x;θ)=1−hθ(x)=1−g(θTx)P(y=0|x;\theta)=1-P(y=1|x;\theta)=1-h_{\theta}(x)=1-g(\theta^{T}x)$
这两个式子可以合并为一个式子，无论在 $y$ 为 0 或者 1 时都成立:
$P(y∣x;θ)=hθ(x)y(1−hθ(x))1−yP(y|x;\theta) = h_{\theta}(x)^{y} (1-h_{\theta}(x))^{1-y}$
·

2.最大似然估计(Maximum Likehood Estimation, MLE)

最大似然估计的意思是在模型已经确定的情况下，求解最有可能让这个模型出现的参数，这是一个逆推的过程。常用八个字概括“模型已定，参数未知”。
根据最大似然估计，写出似然函数，通俗来说就是你拿到的这个模型长这样，这件事发生的概率是多少呢，用似然函数来表示:
$L(θ)=∏i=1mP(y(i)∣x(i);θ)L(\theta) = \prod_{i=1}^{m} P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)$