朴素贝叶斯(Naive Bayes)学习总结

朴素贝叶斯算法的基本思想是建立特征$X$与输出 $Y$ 之间的联合概率分布 $P(X,Y)$ ，在对给定的特征进行预测时，通过贝叶斯定理求出所有可能的输出 $P(X|Y)$ ，取其中最大的作为预测结果。其优点是模型简单，效率高，在很多领域有广泛的使用。

生成学习算法与判别学习算法

生成学习算法与判别学习算法是监督学习的两种方式，今天要说的朴素贝叶斯算法是生成算法的一种，而之前讲的逻辑回归与后面将要学习的SVM则是属于判别学习方法，我们首先要搞清楚两种算法的区别。
贴一张图片，我觉得可以很直观的看出两种学习算法的区别。

对于监督学习来说，我们的目标始终是求出 $P(Y|X)$ ，判别学习算法会直接对$P(Y|X)$进行建模，例如在逻辑回归中 $P(Y|X;\theta )={h_{\theta }(x)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y}$ ，当有一组需要预测的样本时，我们可以直接判别出他的输出类别，在图中可以明显看出，实际上判别算法是生成了一条判别边界的，在边界的两边会输出不同结果。生成学习算法是对 $P(X,Y)$进行建模，在右图中，并不存在一个判别边界，而是对两类样本分别建模，当有一个红色小三角的输入时，根据条件概率公式分别计算出小三角属于蓝色以及黄色的概率，取较大的那个作为小三角的类别。

统计学理论基础

在了解朴素贝叶斯算法之前，我们需要一些统计学知识作为基础，下面的公式部分摘自《概率论与数理统计》，只是把其中的A，B换成了X，Y以方便理解。

• 条件概率公式

假设X, Y是两个事件，以下公式表示事件X发生的条件(前提)下，事件Y发生的概率。
$$P(Y|X)=\frac{P(XY)}{P(X)}$$

• 条件概率的链式法则

$$P(x_1,x_2,...,x_n)=P(x_1)\prod _{i=2}^{n}P(x_i|x_1,...,x_{i-1})$$

• 事件相互独立

假设X, Y是两个事件，若满足以下等式则称事件X，Y相互独立。
$$P(XY)=P(X)P(Y)$$

• 全概率公式

如果事件Y1、Y2、Y3…Yn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集，则对任一事件X有
$$P(X)=\sum _{n}P(X|Y_n)P(Y_n)$$

• 贝叶斯公式

由条件概率公式可得
$$P(XY)=P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)$$
$$P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$$
将全概率公式带入，即得贝叶斯公式
P(Yn∣X)=P(X∣Yn)P(Yn)∑nP(X∣Yn)P(Yn)P(Y_n|X) = \frac{P(X|Y_n)P(Y_n)}{\sum_{n}^{}{P(X|Y_n)P(Y_n)}} P(Yn​∣X)=