求最大子序列和学习笔记

题：给定N个整数的序列{$A_1,A_2,A_3...A_N-1,A_N$}，求函数f(i,j)=max{0,∑k=0jAk}f(i,j)=max\{0,\sum_{k=0}^j A_k\}f(i,j)=max{0,∑k=0j​Ak​} 的最大值。

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• $方{法}_1$ 将所有连续子列和算出，即从数组A[0]项开始，计算所有可能的连续子列的最大值，再从A[1]项开始求出所有的可能直至第A[N]项

• $方{法}_2$在方法1的基础上进行改进，避免部分的子列和重复计算

• $方{法}_3$分而治之

• $方{法}_4$在线处理，每输入一个数据就进行及时处理，在任何一个地方中止输入都能给出当前的正解

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-代码实现
主函数

int main(void) {
	int a[5] = {1,5,6,7,-7};//随意设置一组数组
	printf("\n最大子序列之和为:%d", MaxSubseqSum1(a,5));
	return 0;;
}

$方{法}_1$

int MaxSubseqSum1(int A[],int N)
{int ThisSum,MaxSum=0;
	int i,j,k;
	for(i = 0;i < N;i++){
		for(j = i;j < N;j++){
		ThisSum = 0;//每轮都要把ThisSum归零，累加新一轮的子列和。
		for(k = i;k <= j;k++){
			ThisSum += A[k];
		if(ThisSum > MaxSum){
			MaxSum = ThisSum;
			}
		}
	}
}return MaxSum;
}
	

循环次数为$T(N)=O(N^3)$

$方{法}_2$

int MaxSubseqSum2(int *A,int N)
{int ThisSum,MaxSum=0;
	int i,j;
	for(i = 0;i < N;i++){
		ThisSum = 0;
		for(j = i;j < N;j++){
			ThisSum += A[j];
		if(ThisSum > MaxSum){
			MaxSum = ThisSum;
			}
		}
		return MaxSum;
	}
	

循环次数为$T(N)=O(N^2)$
当我们看到$T(N)=O(N^2)$应要下意识的想能否将$O(N^2)$转换为NLogN,由此我们有第三种方法。

$方{法}_3$

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
 
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */
 
    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
 
int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

循环次数为$T(N)=NLogN$

$方{法}_4$

int MaxSubseqSum4(int A[],int N)
{int ThisSum,MaxSum=0;
	int i;
	for(i = 0;i < N;i++){
			ThisSum += A[i];
		if(ThisSum > MaxSum)
			MaxSum = ThisSum;
		else if(ThisSum<0)//如果当前子列和为负，则不可能使后面的子列和更大，遂抛弃
			ThisSum=0;
		}
		return MaxSum;
	}

循环次数为$T(N)=O(N)$

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