CF1667E Centroid Probabilities-优快云博客

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文章描述了一种称为好树的特殊树结构，其中每个节点i只有j节点与其相邻且j<i。文章探讨了如何计算当n为奇数时，对于1到n的每个点i，有多少棵好树的重心是i。重心定义为删除该点后形成的连通块大小均小于n/2。给出了计算每个点i为中心的好树数量的递推公式和算法实现，包括组合数学和模逆运算的应用。

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题目描述

对于所有点数为 $n$ 的树，如果其满足对于所有 $i∈[2,n]i\in [2,n]$ ，与 $i$ 相连的 $j$ 中有且只有一个点 $j$ 满足 $j < i$ ，那么我们称其为好树

对于 $1∼n1\sim n$ 每个点求出来有多少好树满足重心为 $i$

这里重心定义为删去这个点后形成的所有连通块大小均小于 $n−12\frac{n-1}2$

数据范围 $3≤n≤2×1053\le n\le 2\times 10^5$ 且 $n$ 为奇数（所以不存在树有多个重心的情况）

题解

设 $m=n+12m=\frac{n+1}{2}$ ， $f_i$ 表示 $i$ 的子树大小 $≥m\ge m$ 的方案数
枚举 $i$ 的子树大小 $j$ ，则有式子
$fi=(i−1)∑j=mn−i+1(n−ij−1)(j−1)!(n−j−1)!f_i=(i-1)\sum_{j=m}^{n-i+1}\binom{n-i}{j-1}(j-1)!(n-j-1)!$
前面的 $i - 1$ 是钦定 $i$ 的父亲，组合数是从 $i$ 后面的点中选出属于 $i$ 子树的点，两个阶乘是为了计算两个点集连成树的方案数
$=(i−1)∑j=mn−i+1(n−i)!(j−1)!(n−i−j+1)!(j−1)!(n−j−1)!=(i-1)\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-i)!}{(j-1)!(n-i-j+1)!}(j-1)!(n-j-1)!$

$=(i−1)(n−i)!∑j=mn−i+1(n−j−1)!(n−i−j+1)!=(i-1)(n-i)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-j-1)!}{(n-i-j+1)!}$

$=(n−i)!(i−1)!∑j=mn−i+1(n−j−1)!(n−i−j+1)!(i−2)!=(n-i)!(i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-j-1)!}{(n-i-j+1)!(i-2)!}$

$=(n−i)!(i−1)!∑j=mn−i+1(n−j−1i−2)=(n-i)!(i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\binom{n-j-1}{i-2}$

$=(n−i)!(i−1)!∑k=i−2n−m−1(ki−2)=(n-i)!(i-1)!\sum_{k=i-2}^{n-m-1}\binom{k}{i-2}$

$=(n−i)!(i−1)!(n−mi−1)=(n-i)!(i-1)!\binom{n-m}{i-1}$

于是 $f_i$ 可以 $O (n)$ 计算，考虑容斥求出 $ans_i$ 表示以 $i$ 为重心的方案数，枚举它的儿子 $j$ 子树大小 $≥m\ge m$ ，显然对于 $j$ 来说父亲为哪个方案数都是一样的，所以以 $i$ 为父亲的方案数就是 $fjj−1\frac{f_j}{j-1}$ ，即答案为 $ansi=fi−∑j=i+1fjj−1ans_i=f_i-\sum_{j=i+1}\frac{f_j}{j-1}$

$code\text{code}$

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll a,ll b)
{
	if(b==0) return 1;
	ll tmp=ksm(a,b>>1);
	if(b&1) return tmp*tmp%mod*a%mod;
	else return tmp*tmp%mod;
}
const int N=2e5+1000;
int n;
ll f[N+10],fac[N+10],inv[N+10];
ll C(int n,int m){if(m>n) return 0;return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);
	f[1]=fac[n-1];
	int m=n+1>>1;
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=fac[i-1]*fac[n-i]%mod*C(n-m,i-1)%mod;
	ll res=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		ll tmp=f[i];
		f[i]=(f[i]+mod-res)%mod;
		res+=tmp*ksm(i-1,mod-2)%mod,res%=mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",f[i]);puts("");
	return 0;
}