CF750H New Year and Snowy Grid

题面描述

给一个 $h\times w$ 的棋盘，有障碍。$q$ 次询问，每次把 $k$ 个点变成障碍后询问能否找到两条从 $(1,1)$ 到 $(h,w)$ 的不相交的路径，询问独立。需要通过交互实现强制在线。
$h,w\le 10^3$，$q\le 10^4$，$k\le 10$

题解

非常玄妙的结论题
考虑判断$(1,1)$和$(h,w)$是否连通如何解决
在最外圈除了起点和终点附近的地方都看成$\#$

图片来源
类似上图
条件就是$(h+1,0)$和$(0,w+1)$是否八连通
然后拓展到判断是否有两条不交路径，条件就是判断$(h+1,0)$和$(0,w+1)$是否八连通或者在加入一个$\#$后是否可以八连通

加入$k$个$\#$后怎么判断
$1.$直接连通
$2.$在$k$个$\#$周围加一个$\#$可以达成八连通，可以枚举一下与$k$个$\#$距离为$2$的位置
$3.$$k$个$\#$会接触到的连通块只有$O(k)$个，找出来互相判断一下能否通过加入一个$\#$使两个连通块连通，并且判断一下两个连通块是否一个连着$(h+1,0)$，另一个连着$(0,w+1)$
判断两个连通块能否通过加入一个$\#$使两个连通块连通，可以通过预处理所有这样的连通块对，因为每个格子只会产生$O(1)$个连通块对，所以最多$O(hw)$个连通块对，用哈希表存下，就可以$O(1)$回答询问
连通性可以用可撤销并查集
时间复杂度$O(hw+qk(k+\log k))$

$\text{code}$

代码写得很长

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
void read(int &res)
{
	res=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
void readc(char &ch)
{
	ch=getchar();
	while(ch!='#'&&ch!='.') ch=getchar();
}
const int N=1010;
const int dx[8]={-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
const int dy[8]={-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
const int dex[16]={-2,-2,-2,-2,-2,-1,-1,0,0,1,1,2,2,2,2,2};
const int dey[16]={-2,-1,0,1,2,-2,2,-2,2,-2,2,-2,-1,0,1,2};
bool vis[N+10][N+10];
int h,w,q;
int id(int x,int y){return x*(w+2)+y+1;}
int fa[N*N+10],g[N*N+10],x[N+10],y[N+10];
vector<pair<int,int> > p;
int findfa(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	else
	{
		p.push_back({x,fa[x]});
		return fa[x]=findfa(fa[x]);
	}
}
void merge(int x,int y)
{
	x=findfa(x),y=findfa(y);
	if(x!=y)
	{
		p.push_back({x,fa[x]});
		fa[x]=y;
	}
}
int findfa1(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	else return fa[x]=findfa1(fa[x]);
}
void merge1(int x,int y)
{
	x=findfa1(x),y=findfa1(y);
	if(x!=y) fa[x]=y;
}
const ull mod=999979;
struct hash_table
{
	int st[mod+10],tot;
	struct edge
	{
		ull key;int last;
	}e[N*N*4];
	void insert(ull key)
	{
		ull h=key%mod;
		for(int i=st[h];i!=0;i=e[i].last)
			if(e[i].key==key)
				return;
		e[++tot].key=key;
		e[tot].last=st[h];
		st[h]=tot;
	}
	bool query(ull key)
	{
		ull h=key%mod;
		for(int i=st[h];i!=0;i=e[i].last)
			if(e[i].key==key)
				return true;
		return false;
	}
}t;
int main()
{
//	freopen("a.in","r",stdin);
	read(h),read(w),read(q);
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=1;j<=w;j++)
		{
			char ch;readc(ch);
			vis[i][j]=(ch=='.');
		}
	vis[0][0]=vis[0][1]=vis[1][0]=vis[h+1][w+1]=vis[h][w+1]=vis[h+1][w]=true;
	for(int i=0;i<=h+1;i++)
		for(int j=0;j<=w+1;j++)
			fa[id(i,j)]=id(i,j);
	for(int i=0;i<=h+1;i++)
		for(int j=0;j<=w+1;j++)
		{
			if(vis[i][j]) continue;
			if(i>0&&!vis[i-1][j]) merge1(id(i,j),id(i-1,j));
			if(j>0&&!vis[i][j-1]) merge1(id(i,j),id(i,j-1));
			if(i>0&&j>0&&!vis[i-1][j-1]) merge1(id(i,j),id(i-1,j-1));
			if(i>0&&j<w+1&&!vis[i-1][j+1]) merge1(id(i,j),id(i-1,j+1));
		}
	for(int i=0;i<=h+1;i++)
		for(int j=0;j<=w+1;j++)
			fa[id(i,j)]=findfa1(id(i,j));
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=1;j<=w;j++)
		{
			if(!vis[i][j]) continue;
			if(i==1&&j==1||i==h&&j==w) continue;
			g[0]=0;
			for(int d=0;d<8;d++)
				if(!vis[i+dx[d]][j+dy[d]])
					g[++g[0]]=fa[id(i+dx[d],j+dy[d])];
			for(int k=1;k<=g[0];k++)
				for(int w=k+1;w<=g[0];w++)
					if(g[k]!=g[w])
						t.insert((ull)N*N*g[k]+g[w]),t.insert((ull)N*N*g[w]+g[k]);
		}
	if(fa[id(h+1,0)]==fa[id(0,w+1)])
	{
		for(;q--;)
		{
			puts("NO\n");
			fflush(stdout);
		}
		return 0;
	}
	for(int k;q--;)
	{
		read(k);
		for(int i=1;i<=k;i++) read(x[i]),read(y[i]);
		g[0]=0,g[++g[0]]=fa[id(h+1,0)],g[++g[0]]=fa[id(0,w+1)];
		for(int i=1;i<=k;i++)
			for(int d=0;d<8;d++)
				if(!vis[x[i]+dx[d]][y[i]+dy[d]])
					g[++g[0]]=fa[id(x[i]+dx[d],y[i]+dy[d])];
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			vis[x[i]][y[i]]=false;
			for(int d=0;d<8;d++)
				if(!vis[x[i]+dx[d]][y[i]+dy[d]])
					merge(id(x[i],y[i]),id(x[i]+dx[d],y[i]+dy[d]));
		}
		bool ans=true;
		if(findfa(id(h+1,0))==findfa(id(0,w+1))) ans=false;
		else
		{
			for(int i=1;i<=k;i++)
			{
				for(int d=0;d<16;d++)
				{
					int Dx=x[i]+dex[d],Dy=y[i]+dey[d];
					if(0<=Dx&&Dx<=h+1&&0<=Dy&&Dy<=w+1&&!vis[Dx][Dy])
					{
						if(findfa(id(h+1,0))==findfa(id(Dx,Dy))&&findfa(id(0,w+1))==findfa(id(x[i],y[i]))
						||findfa(id(h+1,0))==findfa(id(x[i],y[i]))&&findfa(id(0,w+1))==findfa(id(Dx,Dy)))
						{
							ans=false;
							break;
						}
					}
				}
				if(!ans) break;
			}
			if(ans)
			{
				for(int i=1;i<=g[0];i++)
				{
					for(int j=1;j<=g[0];j++)
						if(g[i]!=g[j])
						{
							if(t.query((ull)N*N*g[i]+g[j]))
								if(findfa(id(h+1,0))==findfa(g[i])&&findfa(id(0,w+1))==findfa(g[j]))
								{
									ans=false;
									break;
								}
						}
					if(!ans) break;
				}
			}
		}
		if(!ans) puts("NO");
		else puts("YES");
		fflush(stdout);
		for(int i=1;i<=k;i++) vis[x[i]][y[i]]=true;
		reverse(p.begin(),p.end());
		for(auto v:p) fa[v.first]=v.second;
		p.clear();
	}
	return 0;
}