Divide and Conquer

1. 概念介绍与准备知识

最常见的分治法应用有快速排序（选择pivot），堆排序等。以堆排序为例，说明三个步骤：

1. 将排序分解为对两个大小大致相同的数组排序
2. 递归求解子问题，直至（n=1）

3. 用merge函数将两个已经排序的数组合并

   接下来要讲一个重要的分治法复杂度分析定理，大师定理:
   

2.实例分析

用分治思想分析，分解为两步（没有第三步合并）：

1. 以一个数v(随机选定）将数组分为三部分，根据不同情况递归求解子问题

2. 直至数在“中间”部分里，这个时候K largest在中间部分

   代码（C++）:

    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
        return selection(nums,k);
    }
    //该函数选取中间位置的元素作为分割，将原来的元素分成三部分 
    int selection(vector<int>& nums,int k) {
        vector<int> SL,SR;
        int size = nums.size();
        int v = nums[(size-1)/2];
        int pivot;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            pivot = nums[i];
            if (pivot > v) {
                SL.push_back(pivot);
            } else if (pivot < v) {
                SR.push_back(pivot);
            }
        }
        int Lsize = SL.size();
        int Rsize = SR.size();
        int Vsize = size-Lsize-Rsize;
        if (k <= Lsize) {
            return selection(SL,k);
        } else if (Lsize < k && k <= Lsize + Vsize) {
            return v;
        } else {
            return selection(SR,k-Lsize-Vsize);
        }
    }

复杂度分析:算法有三个复杂度，最好最坏和平均，取决于v选择的好坏。

1. 最好：第一个选择的数就是第K大的数，这样只需要遍历数组的长度n。
2. 最差：例如数组有序，且每次选的都是最小的数，那么每次都要从左边的数组继续执行，复杂度大致为n+(n-1)+(n-2)+…+k = O(n^2)
3. 平均：考虑抛硬币问题，得到正面所需要抛硬币的平均次数为2，所以若将选择的v落在25th到75th（百分比）之间看做正面，则有T(n) <= T(3n/4) + O(n)，根据大师定理，复杂度为O(n)

3.方法评价与其他应用

分治法的思想为我们求解问题提供了一种指南，但某些时候可能并不是最优的。（例如LeetCode 53,Dynamic Programming方法最优）
应用方面，有一个很重要的应用：快速傅里叶变换，应用于求解多项式乘法。（具体的见算法概论该章）