【bzoj1978】【BeiJing2010】取数游戏 game【递推】

ZMOIYNLP

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分类专栏： bzoj 动态规划文章标签：动态规划

于 2015-04-25 20:40:26 首次发布

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该博客讨论了一个关于取数的游戏，其中每个后续数字必须与前一个数字的最大公约数大于等于给定值L。博主介绍了如何使用动态规划来解决这个问题，通过优化状态转移方程，将时间复杂度降低到O(n^2)。样例输入和输出展示了算法的正确性，并提供了问题规模的限制。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设有 $N$ 个正整数,记为 $a_1,a_2,...,a_n$ 。现依次取数，第一个数可以随意取。假设目前取得 $a_j$ ，下一个数取 $a_k(j<k)$ ，则 $a_k$ 必须满足 $(aj,ak)≥L(a_j,a_k)\ge L$ （这里括号是求最大公约数的简记）。求最多可取几个数。
Input
第一行是两个正整数 $N$ 和 $L$ 。
第二行是 $N$ 个以空格分开的正整数 $a_1,a_2,...,a_n$ .
Output
仅一行，一个数，表示按上述取法，最多可以取的数的个数。
Sample Input
5 6
7 16 9 24 6
Sample Output
3
HINT
选取 $3$ 个数 $(16,24)=8，(24,6)=616,24,6.\;(16,24)=8，(24,6)=6$ .
$2≤L≤ai≤106,∀i2\le L\le a_i\le 10^6,\forall i$ ；
$30%30\%$ 的数据 $N \leq 1, 000$ ；
$100%100\%$ 的数据 $N≤50,000N\le 50,000$

本蒟蒻一开始想了一个 $O(n^2\log n)$ 的算法：设 $F (i)$ 表示第 $i$ 个数取的情况下从 $,aia_1,a_2,\cdots, a_{i}$ 中所能取的数的个数的最大值，则
$F(i)=1+max⁡1≤i′<iF(i′)F(i)=1+\max_{1\le i'<i}F(i')$
其中 $i^{'}$ 满足 $(ai′,ai)≥L,F(1)=1(a_{i'},a_i)\ge L,F(1)=1$ 。
看了hzwer的题解感觉十分精妙……
由于 $(ai′,ai)∣ai(a_i',a_i)\mid a_i$ ，故只需考虑 $a_i$ 的约数能整除的 $a_{i'}$ 。不妨设
$lasti(x)=max⁡1≤i′<ii′last_i(x)=\max_{1\le i'<i}i'$
其中 $i^{'}$ 满足 $x∣ai′x\mid a_{i'}$ .
现在 $F (i)$ 可改写为 $F(i)=max⁡x∣ai,x≥L{F(lasti(x))}+1F(i)=\max_{x\mid a_i,x\ge L}\{F(last_i(x))\}+1$ .
状态数 $O (n)$ ,转移 $O(n)O(\sqrt n)$ ,总时间复杂度 $O(nn)O(n\sqrt n)$ .
代码实现中会随着i的递增不断更新last数组，这样last就不用开成 $2$ 维了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=50001;
int f[maxn];
int last[1000001];
int a[50001];
inline int read(){
	int x=0;scanf("%d",&x);return x;
}
int n,l,ans;
int main(){
	n=read();l=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int &tmp=f[i];
		for(int j=1;j*j<=a[i];++j){
			if(a[i]%j) continue;
			if(j>=l&&f[last[j]]+1>tmp) tmp=f[last[j]]+1;
			if(a[i]/j>=l&&f[last[a[i]/j]]+1>tmp) tmp=f[last[a[i]/j]]+1;
			last[j]=i;
			last[a[i]/j]=i;
		}
		if(tmp>ans) ans=tmp;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}