【bzoj1978】【BeiJing2010】取数游戏 game【递推】

设有 $N$ 个正整数,记为 $a_1,a_2,...,a_n$。现依次取数，第一个数可以 随意取。假设目前取得 $a_j$，下一个数取$a_k(j<k)$，则$a_k$必须满足$(a_j,a_k)\ge L$（这里括号是求最大公约数的简记）。 求最多可取几个数。
Input
第一行是两个正整数$N$和$L$。
第二行是$N$个以空格分开的正整数$a_1,a_2,...,a_n$.
Output
仅一行，一个数，表示按上述取法，最多可以取的数的个数。
Sample Input
5 6
7 16 9 24 6
Sample Output
3
HINT
选取 $3$ 个数 $16,24,6.(16,24)=8，(24,6)=6$.
$2\le L\le a_i\le 10^6,\forall i$；
$30\%$ 的数据 $N\le 1,000$；
$100\%$ 的数据 $N\le 50,000$

本蒟蒻一开始想了一个$O(n^2\log n)$的算法：设$F(i)$表示第 $i$ 个数取的情况下从$a_1,a_2,\cdots ,a_i$中所能取的数的个数的最大值，则
$$F(i)=1+\underset{1\le i^{\prime }<i}{\max }F(i^{\prime })$$
其中 $i^{\prime }$ 满足$(a_{i^{\prime }},a_i)\ge L,F(1)=1$。
看了hzwer的题解感觉十分精妙……
由于$(a_i^{\prime },a_i)\mid a_i$，故只需考虑$a_i$的约数能整除的$a_{i^{\prime }}$。不妨设
$$las{t}_i(x)=\underset{1\le i^{\prime }<i}{\max }{i}^{\prime }$$
其中 $i^{\prime }$ 满足 $x\mid a_{i^{\prime }}$.
现在$F(i)$可改写为 F(i)=max⁡x∣ai,x≥L{F(lasti(x))}+1F(i)=\max_{x\mid a_i,x\ge L}\{F(last_i(x))\}+1F(i)=x∣ai​,x≥Lmax​{F(lasti​(x))}+1.
状态数$O(n)$,转移$O(\sqrt{n})$,总时间复杂度$O(n\sqrt{n})$.
代码实现中会随着i的递增不断更新last数组，这样last就不用开成$2$维了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=50001;
int f[maxn];
int last[1000001];
int a[50001];
inline int read(){
	int x=0;scanf("%d",&x);return x;
}
int n,l,ans;
int main(){
	n=read();l=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int &tmp=f[i];
		for(int j=1;j*j<=a[i];++j){
			if(a[i]%j) continue;
			if(j>=l&&f[last[j]]+1>tmp) tmp=f[last[j]]+1;
			if(a[i]/j>=l&&f[last[a[i]/j]]+1>tmp) tmp=f[last[a[i]/j]]+1;
			last[j]=i;
			last[a[i]/j]=i;
		}
		if(tmp>ans) ans=tmp;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}