HDU 2159 背包问题+我的理解

Problem Description
最近xhd正在玩一款叫做FATE的游戏，为了得到极品装备，xhd在不停的杀怪做任务。久而久之xhd开始对杀怪产生的厌恶感，但又不得不通过杀怪来升完这最后一级。现在的问题是，xhd升掉最后一级还需n的经验值，xhd还留有m的忍耐度，每杀一个怪xhd会得到相应的经验，并减掉相应的忍耐度。当忍耐度降到0或者0以下时，xhd就不会玩这游戏。xhd还说了他最多只杀s只怪。请问他能升掉这最后一级吗？

Input
输入数据有多组，对于每组数据第一行输入n，m，k，s(0 < n,m,k,s < 100)四个正整数。分别表示还需的经验值，保留的忍耐度，怪的种数和最多的杀怪数。接下来输入k行数据。每行数据输入两个正整数a，b(0 < a,b < 20)；分别表示杀掉一只这种怪xhd会得到的经验值和会减掉的忍耐度。(每种怪都有无数个)

Output
输出升完这级还能保留的最大忍耐度，如果无法升完这级输出-1。

Sample Input
10 10 1 10
1 1
10 10 1 9
1 1
9 10 2 10
1 1
2 2

Sample Output
0
-1
1

先来看一下什么是背包问题 （以下内容来自百度百科）

题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+v[i] }。
可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]}
解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值v[i]。
注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为f[v]。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。

对于本题来说 用dp[x][y]表示得到的经验，每种怪物的数量为无限个。

状态转移方程为 dp[x][y] = max(dp[x][y], dp[x-b[z]][y-1] + a[z]);
这样看还不好理解，我们先把dp[x][y] 的表格整个打出来。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,k,s;
    int a[110],b[110];
    int dp[110][110] = {0};
    int i,x,y,z;
    while (~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
    {
        for(i=1; i<=k; i++)
        {
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]); //得到的经验值  减掉的忍耐度
        }
        memset(dp, 0, sizeof (dp));//初始化dp
        for(x=1; x<=m; x++)//忍耐度
        {
            for(y=1; y<=s; y++)//最多杀怪数
            {
                for(z=1; z<=k; z++)//种类
                {
                    if(x >= b[z])
                        dp[x][y] = max(dp[x][y], dp[x-b[z]][y-1] + a[z]);
                }
            }
        }

        for(x=1; x<=m; x++)
        {
            for(y=1; y<=s; y++)
            {
                printf("%d ",dp[x][y]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

x（纵轴）代表用的忍耐度，y（横轴）代表用的杀敌数， 表格中的数字代表当前得到的经验值（局部最优解）。 可以看到当x=9，y=5的时候，经验到9了，此时就可以退出。输出即为m - x。

以下为ac代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,k,s;
    int a[110],b[110];
    int dp[110][110] = {0};
    int i,x,y,z;
    while (~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
    {
        for(i=1; i<=k; i++)
        {
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        }
        memset(dp, 0, sizeof (dp));
        for(x=1; x<=m; x++)
        {
            for(y=1; y<=s; y++)
            {
                for(z=1; z<=k; z++)
                {
                    if(x >= b[z])
                        dp[x][y] = max(dp[x][y], dp[x-b[z]][y-1] + a[z]);
                }
            }
            if(dp[x][s] >= n)
                break;
        }
        printf("%d\n",m-x);
    }
    return 0;
}