【洛谷】P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数的题解

ZH_qaq

已于 2024-09-20 19:08:27 修改

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分类专栏：洛谷题解文章标签：算法 c++ 数据结构数学快速幂杨辉三角

于 2024-09-20 19:07:54 首次发布

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【洛谷】P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数的题解

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题解

一题水水的数学题qaq，祝 CSP 初赛 rp++！！！

其实就是一个组合数加上杨辉三角（记得要快速幂），根据二项式定理， $x + y)^k$ 中 $x^m \times y^{(k - m)}$ 的系数为 $C (k ， m)$ 。然后改造一下下得到 $ax + by)^k$ 中 $x^m \times y^{(k - m)}$ 的系数为 $\times a^m \times b^{(k - m)}$ 。最后在输出答案即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
namespace fastIO {
	inline int read() {
		register int x = 0, f = 1;
		register char c = getchar();
		while (c < '0' || c > '9') {
			if(c == '-') f = -1;
			c = getchar();
		}
		while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		return x * f;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
		return;
	}
}
using namespace fastIO;
int a, b, k, n, m;
int C[1005][1005];
int fast_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) 
			ans = (ans * a) % 10007;
        a = (a * a) % 10007;
        b >>= 1;    
    }
    return ans;
}
int main() {
	//freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    a = read(), b = read(), k = read(), n = read(), m = read();
    a %= 10007; 
	b %= 10007;
    a = fast_pow(a, n);
    b = fast_pow(b, m);
    for(int i = 1; i <= k; i ++) {
        C[i][0] = 1;
        C[i][i] = 1;
    }
    int p = min(n, m);
    for(int i = 2; i <= k; i ++) {
        for(int j = 1; j <= p; j ++) {
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % 10007;
        }
    }
    int ans = (a * b) % 10007;
    ans = (ans * C[k][p]) % 10007;
    write(ans);
    return 0;
}