数据结构期末复习四：图

一、图的定义和概念

图(Graph)G由两个集合V(Vertex)和E(Edge)组成,记为 G=(V ,E)
其中V是顶点的有限集合,记为V(G),E是连接V中两个不同顶点(顶点对)的边的有限集合,记为E(G）
无向图：顶点对是无序的，顶点对用圆括号括起来
有向图：顶点对是有序的，顶点对用尖括号括起来

无向完全图：有n(n-1)/2条边的无向图
有向完全图：有n(n-1)条边的有向图

子图：有两个图G=(V , {E})和图G’=(V’, {E’}), 若V’⊆ V且E’⊆E, 则称图G’为G的子图。

顶点的度：顶点具有的边的条数
有向图中，,以顶点v为头的弧的数目,称为该顶点的入度。以顶点v为尾的弧的数目,称为该顶点的出度

权：每一条边都有与它相关的数，称为权
带权的图叫做赋权图或网

路径的长度: 路径上经过的边的数目
回路：第一个顶点和最后一个顶点相同
简单路径:表示路径的顶点序列中的顶点各不相同。
简单回路:除了第一个和最后一个顶点外，其余各顶点均不重复出现的回路

连通图：在无向图G=<V, E>中，若对任何两个顶点u、v都存在 从u到v的路径
强连通图：在有向图G=<V, E>中，若对任何两个顶点u、v都存在 从u到v的路径

连通分量：无向图中的极大连通子图
强连通分量: 有向图的极大强连通子图

生成树：连通图的生成树是⼀一个极小连通子图（含全部顶点和足以构成树的n-1条边）

二、存储结构

邻接矩阵表示法（数组表示法）

邻接矩阵特点

1.无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此,按照压缩存储 的思想,在具体存放邻接矩阵时只需存放上(或下)三角形阵的元素即可
2.判断两顶点v、u是否为邻接点：只需判二维数组对应分量是否为1
3.顶点不变，在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分量赋值1或清0

4.对于无向图,邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素(或非∞元素)的个数正好是第i个顶点vi的度
5.对于有向图,邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素(或非∞元素) 的个数正好是第i个顶点vi的出度(或⼊度)

数据结构

#define MAX_VERTEX_NUM 20
#define INFINITY INT_MAX

typedef enum{//枚举类型 
	DG,DN,UDG,UDN
}; 

typedef struct ArcCell{
	VRType adj;//顶点关系类型 
	InfoType *info;//该边权值指针 
}ArcCell，AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct{
	VertesType vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量（？） 
	AdjMatrix arcs;
	int vexnum,arcnum;
	GraphKind kind;
}MGragh; 

邻接表存储方法

对图中每个顶点建立一个单链表,第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边(对有向图是以顶点vi为尾的弧)

特点

1.邻接表表示不惟⼀。这是因为在每个顶点对应的单链表中,各边结点的链接次序可以是任意的
2.对于无向图,邻接表的顶点vi对应的第i个链表的表结点数目正 好是顶点vi的度。
(4)对于有向图,邻接表的顶点vi对应的第i个链表的表结点数目仅仅是vi的出度。其入度为邻接表中所有adjvex域值为i的表结点数目。

数据结构

typedef struct ArcNode{//表结点
	int adjvex;//邻接的结点编号 
	struct ArcNode *nextarc;//指向下一条边的指针 
	InfoType info;//边的权值 
}ArcNode; 

typedef struct VNode{//头结点
	Vertex data;
	ArcNode *firstarc;//指向第一条边 
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct {
	AdjList vertices;
	int vexnum,arcnum;
	int kind;
}ALGraph;

三、遍历

从任意给定的初始点出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中所有结点，且每个顶点仅被访问一次，称为图的遍历。
分为**深度优先(DFS)和广度优先(BFS)**两种方法

深度优先搜索遍历

1）基本思想：递归
（1）访问顶点A；
（2）从A的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；
（3）重复上面两步，直至所有顶点均被访问过。
2）辅助数组：
visited[ ]：用来记录每个顶点是否被访问过。1，访问过；0，未访问过。
3）代码：

广度优先搜索遍历

1）基本思想：
类似于树的遍历
2）代码：

四、连通性

利用图的遍历运算求解图的连通性

求无向网的最小代价生成树

由深度优先遍历得到的生成树称为深度优先生成树；由广 度优先遍历得到的生成树称为广度优先生成树

一棵生成树的代价定义为树上各边的权之总和。

代价最小的生成树称为最小代价生成树 （Minimum Cost Spanning Tree），简称为最小生成树(MST)。

求最小生成树有Prim算法和Kruskal算法

Prim算法(加点法)

1.设最小生成树的顶点集合U={U1}，边集合TE={ }
2.在任一u∈U，v∈V-U 的边 ( u , v ) 中寻找代价最小的边( u’ , v’ )，将边纳入TE，v’纳入U
3.重复2操作直至U=V

Kruskal算法(加边法)

1.设最小生成树的边集合为TE={ }
2.在边集E中找到权值最小且不与TE中的边构成回路的边纳入TE，从边集E中删除该边
3.重复2操作直至E=0

五、(带权图的)最短路径

Dijkstra算法:给定点到其余各点的最短路径

1.思想：贪心算法（利用局部最优计算全局最优)
2.算法：
1）初始化：
S ← { v0 };
D[j] ← arcs[0][j], j = 1, 2, …, n-1;
2)求出最短路径的长度：
D[k] ← min{ D[i] }, i ∈ V- S ;
S ← S U { k };
3)修改：
D[i] ← min{ D[i], D[k]+arcs[k][i] },
对于每一个 i ∈ V- S ;
4)判断：若S = V, 则算法结束，否则转2) 。

Floyd算法:每对顶点之间的最短路径

定义⼀一个n阶⽅方阵序列列：
D(-1), D(0), …, D(n-1).
其中 D(-1) [i][j] = arcs[i][j]（边或弧的权值）；
D(k) [i][j] = Min { D(k-1) [i][j], D(k-1)[i][k] + D(k-1)[k][j] }, k = 0,1,…, n-1
（D(0) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点是v0的最短路径的长度, D(k) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点的序号不大于k的最短路径的 长度, D(n-1)[i][j]是从顶点vi 到vj的最短路径长度。）