证明根号二是无理数

反证法。
证明$\sqrt{2}$是有理数：
设$\sqrt{2}=\frac{q}{p}且(q,p)=1$

$$2={(\frac{q}{p})}^2$$
$$2=\frac{q^2}{p^2}$$
$$2p^2=q^2$$
$q^2$必然为偶数，则$q$为偶数，设$q=2m$。
则:
$$2p^2={(2m)}^2$$
$$2p^2=4m^2$$
$$p^2=2m^2$$
同理$p$为偶数，设$p=2n$。
然而$(q,p)=(2m,2n)=2$，与前面的假设矛盾。
所以$\sqrt{2}$不是有理数，而是无理数