两平面间8参数变换参数求解简单原理解析（已更新间接平差算法）

本文详细介绍了摄影测量中两平面间的8参数变换原理，包括参数解算流程、矩阵形式表达以及平差求解方法。通过4个及以上控制点的多余观测，采用条件平差或间接平差提高解算精度，确保像素点坐标能准确转换到指定坐标系。同时，讨论了解决非方矩阵逆运算问题的伪逆方法。

在摄影测量中，为了方便数据后续解算，会存在将单幅影像中像素点坐标转换为规定平面坐标的处理。利用两平面的8参数变化，可以快速的计算出由像素点坐标解算到指定坐标的具体转换关系。本文将解析两平面8参数变换参数求解的原理。

两平面间中心投影的8参数变换式

$\\ X=\frac{e_{1}x+f_{1}y+g_{1}}{e_{3}x+f_{3}y+1} \\Y=\frac{e_{2}x+f_{2}y+g_{2}}{e_{3}x+f_{3}y+1}$

参数解算流程

转换参数计算原理

通常在结算中，控制点像素点坐标 $(x,y)$ 与定义平面坐标 $(X,Y)$ 均为已知值（或是通过测量和计算可以求解的数据），因此为了求解转换参数 $(e_{1},\cdot \cdot \cdot ,g_{2})$ ，可将8参数变换式化为整式并整理。

$\\xXe_{3}+yXf_{3}+X=e_{1}x+f_{1}y+g_{1} \\xYe_{3}+yYf_{3}+Y=e_{2}x+f_{2}y+g_{2}$

先将等式右边分母乘到等式左边化为整式

$\\xe_{1}-xXe_{3}+yf_{1}-yXf_{3}+g_{1}=X \\xe_{2}-xYe_{3}+yf_{2}-yYf_{3}+g_{2}=Y$

将含转换参数的项提到等式一边

此时，等式可化为矩阵形式

$AL_{efg}=B$

其中

$\\A=\begin{bmatrix} x&0&-xX&y&0&-yX &1 &0 \\ 0&x &-xY&0&y&-yY&0&1 \end{bmatrix} \quad B=\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}\\ L_{efg}=\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}^{T}$

为了避免出现秩亏的情况，要解算出 $L_{efg}$ 的值，参数阵 $A$ 至少为 $[8\times 8]$ 的矩阵，常数项阵 $B$ 至少为 $[8\times 1]$ 的矩阵；在实际中则为取4个控制点，计算出对应的参数阵 $A_{i(i=1,2,3,4)}$ 和常数项阵 $B_{i(i=1,2,3,4)}$ 并组成整体的参数阵 $A$ 和常数项阵 $B$ 进行求解。

存在多余观测时的条件平差求解

实际中，为了提高转换参数值解算的精度，通常会提取多于4个控制点进行多余观测以进行平差解算。因此当控制点大于等于5时，可以依据条件平差原理进行解算。

由变换参数平差值条件方程

$A\widehat{L}_{efg}+A_{0}=0$

可得变换参数条件方程及闭合差分别为

$v_{e_{1}}+v_{e_{2}}+\cdot \cdot \cdot +v_{g_{2}}-w=0$

$w=-(AL_{efg}+A_{0})$

考虑到

$\widehat{L}_{efg}=L_{efg}+V$

整理得改正数条件方程式

$AV-W=0$

闭合差计算式

$W=-(AL_{efg}+A_{0})$

其中， $L_{efg}$ 为变换参数观测值，可取已知的4个控制点进行上一部分所提的方法解算得出。

将变换参数视为等权，所以权阵 $P$ 和权逆阵 $Q$ 存在关系 $P=Q=I$

此时可以求解法方程系数阵 $N$

$N=AQA^{T}$

联系数向量 $K$

$K=N^{-1}W$

改正数 $V$

$V=QA^{T}K$

由此可求得平差值 $\widehat{L}_{efg}$

$\widehat{L}_{efg}=L_{efg}+V$

当对平差结果进行精度评定时，单位权方差估计公式

$\widehat{\delta }_{0}^{2}=\frac{V^{T}PV}{n}$

其中， $n$ 为所列的条件方程数即参数阵 $A$ 的行数。

利用间接平差求解

相较于条件平差，间接平差在平时的数据解算中更为常用。这里将探讨如何将上述数据改化为间接方程参数矩阵已进行求解。

在“转换参数计算原理”部分，我们构建了变换参数的条件式

$A\widehat{X}_{efg}+A_{0} = 0$

( $\widehat{X}_{efg}$ 即为前面所述的 $\widehat{L}_{efg}$ )

整理后得

$\widehat{X}_{efg}+A^{-1}A_{0} = 0$

由间接平差函数模型

$V =B \widehat{x} - l$

其中

$\widehat{X}_{efg}=X^{0}_{efg}+\widehat{x}_{efg}$

( $X^{0}_{efg}$ 为待求转换参数的近似值， $\widehat{x}_{efg}$ 为参数改正数)

$l = L - BX^{0}_{efg}-d$

( $L$ 为观测值， $d$ 为常数。在此处， $L=0$ ， $d=A^{-1}A_{0}$ )

在间接平常中，通常我们将待求值设为参数 $\widehat{X}$ ，此处同理

对照得设计矩阵 $B$

$B=I_{8}$

常数项 $l$

$l = L - BX^{0}_{efg}-A^{-1}A_{0}$

若未对 $X^{0}_{efg}$ 进行指定，将其视为0

将变换参数视为等权，所以权阵 $P$ 和权逆阵 $Q$ 存在关系 $P=Q=I$

由间接平差的法方程

$B^{T}PB\widehat{x}-B^{T}Pl=0$ 即 $N_{bb}\widehat{x}-U=0$

法方程的系数阵 $N_{bb}$ 和常数项 $U$

$N_{bb}=B^{T}PB,U=B^{T}Pl$

可得参数向量 $\widehat{x}_{efg}$

$\widehat{x}_{efg}=N^{-1}_{bb}U=(B^{T}PB)^{-1}B^{T}Pl$

观测值改正数 $V$

$V=B\widehat{x}_{efg}-l$

最终可求得观测值平差值 $\widehat{L}$ 和参数平差值 $\widehat{X}_{efg}$

$\widehat{L}=L+V,\widehat{X}_{efg}=X^{0}_{efg}+\widehat{x}_{efg}$

单位权方差估计公式原理同条件平差。

对于求解非方矩阵的逆阵情况的解决

在利用间接平差求解，在求解常数项 $l = L - BX^{0}_{efg}-A^{-1}A_{0}$ 时，可能会出现因为矩阵 $A$ 为非方矩阵不存在逆矩阵的情况。此时可用 $A$ 的伪逆 $A^{+}$ 进行替代求解，其计算方法为对非方矩阵 $A$ 进行svd分解求解得 $A=U\Sigma V$ ，此时伪逆阵 $A^{+}=V\Sigma ^{-1}U$ 。具体原理可参照其他资料进行补充理解。