洛谷P1516 青蛙的约会

最新推荐文章于 2024-08-11 17:55:18 发布

YooLcx

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简明题意

简明题意
更好的题面阅读体验，请见 LibreOJ #10209. 「一本通 6.4 例 1」青蛙的约会。

PS: 部分前置知识请移步之前在优快云写的相关博客。窃以为题解应当模块化，读者自取想学的知识，因此其中关于同余方程的部分就不细解释了。

题目分析

不太愉悦地推式子

地球是两极稍扁赤道略鼓的椭球体。纬线圈可以近似看成圆。

如果不同意上面的说法，可以关闭此篇题解了（滑稽

看完题面，发现是道追及问题，而且是在一个圆上。

先从直线运动的模型来分析，设时间为 $ t (t \in \mathbb{N}^*) $ 那么青蛙 $ A $ 的位移 $ x_a = x + mt$，青蛙 $ B $ 的位移为 $ x_b = y + nt$。当他们相遇时，满足 $ x_a = x_b $ 即 $ x + mt = y + nt $ 。

再转到圆上，我们知道其周长为 $ L $，若两青蛙相遇，则满足

$x_a \equiv x_b \mod L$

即：

$\equiv y + nt \mod L$

移项后有：

$\equiv y - x \mod L$

氦，最后还是得转化成： $ t(m - n) - (y - x) = kL $ 有整数解

PS: $ t(m - n) $ 和 $ y - x $ 对 $ L $ 取余相等就相当于 $ t(m - n) $ 和 $ (y - x) $ 刚好相差整数个 $ L $。

不希望有负号并且希望式子更加简单，我们再变换一下，也就是 $ kL + t(n - m) = x - y $ 有整数解

划出来这里的未知量： $ t $ 和 $ k $，不定方程有了，~~剩下的事就是数学老师的事了~~。

这时敏锐的你发现这是 $A x + B y = C$ 的形式，根据裴蜀定理，当且仅当 $ \gcd(A, B) \mid C $ 有整数解。如果有解，我们可以用扩展欧几里得算法求出 $ A $ 和 $ B $ 的其中一个解。

愉悦地码代码

我们的目标是解这个方程：

$k l + t (n - m) = x - y$

第一步：输入，把数据整理成上述格式。

long long x, y, m, n, l;
scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l);
long long X = l, Y = n - m, C = x - y;  // 自行对比 AX + BY = C

第二步：处理系数。

if (Y < 0) Y = -Y, C = -C;   // 系数必须为正整数
LL g = __gcd(X, Y);          // 判断是否有解，化简方程
if (C % g) { printf("Impossible"); return 0; } // 互质，无解

我们不能只背定理不记条件（~~hhh，反正不用证~~），根据题意 $ L $ 一定为正，而 $ n - m $ 不一定，如果它小于 $ 0 $，则需要把整个方程两边乘 $ -1 $，这里没写 X = -X是因为解出来只不过是系数正负的区别，不影响。

如果 $ \gcd(A, B) \nmid C $，则方程无符合题意的整数解，输出 Impossible。

第三步：解不定方程。

X /= g; Y /= g; C /= g; // 化简
pLL sol = exgcd(X, Y);  // 求解
sol.second *= C;        // 通过 ... = gcd(x, y) 的解求原方程的解，此时 x, y 已经互质

扩展欧几里得求解的是 $ Ax + By = \gcd(A, B) $ 的解，最后需要将结果同乘 $ \frac{C}{\gcd(A, B)}$ 才能得到我们需要的答案。这里我们通过同除其最大公因数使其互质，则只需要将结果乘 $ C $ 就行了。

第四步：处理并输出答案。

printf("%lld", (sol.second % X + X) % X); // 最小正整数解

由于题目让求最小正整数解，而扩展欧几里得过程的结果并不能保证是，因此我们对答案再进行取模（要 $ +X $ 是为了避免负数）。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> pLL;
pLL exgcd(LL a, LL b)
{
	if(b == 0) return make_pair(1, 0);
	pLL t = exgcd(b, a % b);
	pLL res;
	res.first = t.second;
	res.second = t.first - (a / b) * t.second;
	return res;
}
int main() 
{
    LL x, y, m, n, l;
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l);
    LL X = l, Y = n - m, C = x - y; // 经过化简（或由同余方程推导）kl + t(n - m) = x - y
    if (Y < 0) Y = -Y, C = -C;      // 系数必须为正整数
    LL g = __gcd(X, Y);             // 判断是否有解，化简方程
    if (C % g) { printf("Impossible"); return 0; } // 互质，无解
    X /= g; Y /= g; C /= g;         // 化简
    pLL sol = exgcd(X, Y);          // 求解
    sol.second *= C;                // 通过 ... = gcd(x, y) 的解求原方程的解，此时 x, y 已经互质
    printf("%lld", (sol.second % X + X) % X); // 最小正整数解
    return 0;
}