高数习题9.3

Yjl_Richard

于 2020-06-23 16:25:03 发布

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文章标签：高数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Yjl_Richard/article/details/106923886

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该博客讨论了函数在闭矩形域上满足李氏条件的证明，并通过多个例子展示了如何判断函数是否满足该条件。同时，文章还涉及了解的存在性和唯一性定理的应用，以及初值问题的皮卡序列和近似解的计算。

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                    设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于y的偏导数 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy​(x,y)在闭矩形域R上有界，证明： f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在R上对y满足李氏条件.
 证明：
  ∵ 函 数 f ( x , y ) 关 于 y 的 偏 导 数 f y ( x , y ) 在 闭 矩 形 域 R 上 有 界 ∴ ∣ f y ( x , y ) ∣ ≤ L 根 据 微 分 中 值 定 理 ， 我 们 可 以 找 到 y 0 ， 使 得 ∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) y 1 − y 2 ∣ = ∣ f y ( x , y 0 ) ∣ ≤ L ∴ f ( x , y ) 在 R 上 对 y 满 足 李 氏 条 件 \because 函数f(x,y)关于y的偏导数f_y(x,y)在闭矩形域R上有界 \\ \therefore |f_y(x,y)|\leq L\\ 根据微分中值定理，我们可以找到y_0，使得|\frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2}|=|f_y(x,y_0)|\leq L\\ \therefore f(x,y)在R上对y满足李氏条件 ∵函数f(x,y)关于y的偏导数fy​(x,y)在闭矩形域R上有界∴∣fy​(x,y)∣≤L根据微分中值定理，我们可以找到y0​，使得∣y1​−y2​f(x,y1​)−f(x,y2​)​∣=∣fy​(x,y0​)∣≤L∴f(x,y)在R上对y满足李氏条件
下列函数在对应的闭区域上是否满足李氏条件？
 (1)  f ( x , y ) = y , R : ∣ x ∣ ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ; f(x,y)=\sqrt{y},R:|x|\leq a,0\leq y\leq b; f(x,y)=y 
             
            ​,R:∣x∣≤a,0≤y≤b;
 (2)  f ( x , y ) = y , R : ∣ x ∣ ≤ a , 0 < δ ≤ y ≤ b ; f(x,y)=\sqrt{y},R:|x|\leq a,0<\delta\leq y\leq b; f(x,y)=y 
             
            ​,R:∣x∣≤a,0<δ≤y≤b;
 (3)  f ( x , y ) = x y n ( n 为 正 整 数 ) , R : ∣ x ∣ ≤ a , ∣ y ∣ ≤ b ; f(x,y)=xy^n(n为正整数),R:|x|\leq a,|y|\leq b; f(x,y)=xyn(n为正整数),R:∣x∣≤a,∣y∣≤b;
 (4)  f ( x , y ) = x y 2 , D : ∣ x ∣ ≤ a , − ∞ < y < + ∞ . f(x,y)=xy^2,D:|x|\leq a,-\infty<y<+\infty. f(x,y)=xy2,D:∣x∣≤a,−∞<y<+∞.
 解：
 (1)  ∣ y 1 − y 2 y 1 − y 2 ∣ = ∣ 1 y 1 + y 2 ∣ |\frac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{y1-y2}|=|\frac{1}{\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}}| ∣y1−y2y1​ 
                     
                    ​−y2​ 
                     
                    ​​∣=∣y1​ 
                     
                    ​+y2​ 
                     
                    ​1​∣，不存在常数L使得 ∣